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  • 数学选择题的几种解法

    2016年2月17日 14:09 作者:李学中

    数学选择题的几种解法

    .[nG4I6T*J+Nb#c%g0

    □  李学中

    FQB P~'o j q0

     中国论文网5C`d9E3CB jx


    摘要:选择题作为一种常见的检测题目,它具有小、巧、活的特点,是检查学生“双基”掌握情况,考察学生思维的灵活性、敏捷性和判断能力的好题型,每次考试都会出现,它与常规题型不同,因此解答起来就具有其特殊性,本人从教多年,总结了一些解答选择题的一些方法,在此小结,与读者分享。中国论文网 Xd-\g,yj(\)lO"S

    关键词:特殊值代人  排除  图像  直观  逆推  变换

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     中国论文网R,f q d^,Y0r AL

    选择题作为一种客观性题型具有小、巧、活的特点,是检查学生“双基”掌握情况,考察学生思维的灵活性、敏捷性和判断能力的好题型。选择题是常规题型,在一定程度上有着常规题型的某些痕迹。然而,选择题在结构上具有自身的特点,跟其它题型在解法上又有所不同。做选择题看起来很省事,但要做对却要有科学的思维方法和正确的判定方法。

    sl%ANY$FTm5v0

    先看例题:中国论文网G9Aw qi

    例1:对于任意实数a,下列结论中一定正确的只有(   )中国论文网-Q*qBPx C!_Z,K(C*l

    (A) 分式的分子与分母同乘以︱sina︱,分式的值不变,中国论文网I \4O5iZg;P9{[ [

    (B) 分式的分子与分母同乘以 sina+1,分式的值不变,

    Dg#Z%O1g J'L0

    (C) 分式的分子与分母同乘以︱sina+1︱,分式的值不变,

    7|w0\ D,NA)P0

    (D) 分式的分子与分母同乘以︱sina︱+1,分式的值不变,

    ~r9KV0gg$\2q6@$x0

    这里四个结论好像都不错,其实只有(D)是正确的,因为只有︳sina︳+1不会等于0,根据分式的性质,分式的分母和分子同乘以或除以不等于零的数(式),分式的值不变。中国论文网4x'iK-Wyn5j4V5C

    答题省事,但容易出错,这是选择题的明显特点,。答题省事,可以节约答题时间,提高解题效率;容易出错,可以检验知识掌握的好不好,能力强不强。选择题的这一特点,使他在许多考试中被运用。

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    现在不少学生对选择题的解法很陌生,有的想当然,像猜谜似猜答案,有的是每道题都像解求解题那样解答,甚至有的把每个选项都当作求解的结论,一个一个去求证,结果一道选择题变成了四、五道题,费时费力。

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    经过长期的实践,我认为选择题的解法是根据它的特点,一般可分为以下几种方法。

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    一、直接法

    l3G,V0~;|6n8{y"Y0

    这种解法,先不管各选项提供的答案,而直接从条件出发,运用数学概念与理论进行运算或推理,求得结果后,再把它与各选项加以比较,作出选择。中国论文网x Wg&E6C XY+]

    例2:︱x︱-2=0的解是  (  )

    F%h`i%R0

    (A)2     (B) ±2    (C) -2    (D) 0

    S+D;Y.l5jds0

    答:(B)中国论文网!dT'~9Lv D l

    选择题有一种通常叫做“诱误”的命题方法,像例2这道题由于几个得数都可以使等式成立,所以具有一定的迷惑性,稍不注意,就会使你作出错误的选择。要避免进入诱误的圈套,就必须对概念有透彻的理解,有分析辨别的能力。解这种考查基本概念的选择题,通常用直接法。中国论文网^2U-T2y9J#K

    有些题目出现“以上答案都不对”的选项,这有两种可能:一是为了不给解题的人过多的暗示,故意把正确的答案隐藏在这一选项中;二是正确答案虽在其它选项中,但用“以上答案都不对”的选项来干扰答题的人。这种题,也常常用直接法,以便决定哪个选项是正确的。

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    用直接法求得的答案与所有选项的答案都不相同时,就应检查解答过程,看有哪些出了毛病。

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    用直接法解选择题是以条件为主进行考察的。

    &o_j{-dv0

    二、接受暗示法中国论文网h/d'S5w!z)g2~d

    有的选择题的选项会提供某些暗示。这常常可以使得解题过程更加简便,所得结论更加准确。所以在审题时应该对各选项作一番认真仔细的观察分析。中国论文网u)_N?(^P1I+\

    例3:已知二次函数y=2(m+1)x2+4mx+m2+3m+2,当函数图像进过原点时,m的值只能是(  )中国论文网y5I5|/t4y D4M

        (A)m1=-2,m2=-1;    (B)m=-2

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        (C)m=-1    (D)m1=1,m2=2

    ^2f(YB@YI.b$^4CFU0

        答:(B)中国论文网%x+g`.|3q$Gd"d

    这里,通过运算,解的m=-2,m=-1时,很可能落入(A)诱误。但是如果注意到(B)(C),实际上给出了“在m=-2,m=-1中舍去一个的暗示,那么就容易考虑到二次函数的二次项系数不能为零,从而舍去m=-1,选择(B)。

    SE+g:D*nv&v1e0

    用接受暗示法,除了要正确理解基本概念,正确进行基本运算,以保证按常规解法求得的结果正确无误外,还应当认真审题,分析各选项的答案,利用它的暗示作用,帮助我们避免错误。中国论文网{"Xw%O0Ct0jQN

    三、筛选法中国论文网;m:a/A'o z'mK$U2J"P x

    筛选法是把已知条件与各个选项提供的答案结合起来,根据有关的基本知识进行判断,将不可能成立的答案一个一个地否定掉。由于一般的选择题在各选项中有且仅有一个正确的,就可以把剩下的那个正确答案筛选出来。

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    例4:已知二次函数y=ax2+bx+c。若它的图像经过点(1,-8),(0,-7),且对称轴为直线x=1/3,则(  )。

    k_;jA4p0

        (A)a=-3,b=2,c=-7;中国论文网%VzM#k'T8x-SNo

        (B)a=1/2,b=-2,c=7;中国论文网 Ix | SWr4^)N

        (C)a=1,b=2,c=-7;中国论文网3`m L o m;no/O

        (D)a=b=c=5。

    P&in6\T K0

    解:因为这个函数图像经过(O,-7),故知C=-7,由此排除(B)(D);由于对称轴是直线x=1/3,即-b/2a=1/3,故知a、b异号,排除(C),所以正确答案是(A)。中国论文网"J*C2w\$W8vmc.uQ

    运用这种方法常常可以避免不必要的繁复的运算过程,迅速地做出正确的选择。这里的关键是需要找到某种方便的筛选和鉴别准则。如例4中的c值和a、b的符号,可用它们来排除那些不正确的答案,使供选择的可能减小到最低限度,甚至一下子就找到正确的答案。这种筛选法,是解数学选择题常用的一种方法。

    ,apk&p"Hd+an*i7P0

    四、举例判定法

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    我们知道,要否定某个带有普遍性的结论,只需要举个反例。因为选择题的各选项中一定有几个是不对的,所以我们可以用取特殊值、画特殊图形或确定特殊位置的办法,来加以判断。如果其他的选项都可以举反例加以否定,那么剩下的一个就一定是正确的答案了。这种方法称为举例判定法。中国论文网!P-]I ^i3C,v4|8@:[

    例5:已知sinA=(a—b)/(a+b)  (0<a<b),则(ctg2A一cos2A)的值为(  )中国论文网4sf%N(R}k#\4AR

        (A)-(a2+b2)2/16a2b2    (B)-16a2b2/(a2+b2)2中国论文网~k6_)g&T%Ho}6t

        (C)(a2-b2)2/16a2b2     (D)16a2b2/(a2-b2)2中国论文网2lVW m7|7{I `l-d

     解:令a=1/2,b=3/2,则中国论文网n0k$m0Vq!Z/[p6{

        sinA=-1/2,ctg2A=3,COS2A=3/4中国论文网rhj)ZV\@

        于是(ctg2A-COS2A)=3-3/4=9/4中国论文网4o,eZtv&Yvh3Y2EqFB

    这时各选项得值依次为负值、负值、4/9、9/4。据此特例,(A)(B)(C)被否定,正确答案是(D)。中国论文网\#ure+?8{A

    运用举例法的关键是寻找恰当的特殊值、特殊图形和特殊位置。在只有几种少量可能需要加以否定时,运用这种方法更能显示出运算简洁、推理方便的优点。中国论文网hn,v-x-?y"M

    五、递推法

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    递推法是从结论着手来考虑问题的。这种方法先假设某选项的结论是对的,然后把它当作问题的条件,经过演算或推理,看得到的结果是否满足题目的要求。如果不满足,那么这个选项就是错误的。如果有一个选项满足,那它就是正确的答案。当然,只有命题中的条件和结论互相可逆时,才能用递推法。

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    例6: 当a为锐角时,下列结论中可能成立的是(  )

    i5]3P@g)T0

        (A)sina=1/3,且cosa=2/3;中国论文网-\\1P9tW:\/e8s~,]Bq8K

        (B)sina=2

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        (C)sina+cosa=4/3中国论文网j pP;H \ ` O {X

        (D)sina+cosa=1/2

    G3?DHe)XO0

        解:如果(A)成立,则sin2a+cos2a=1/9+4/9≠1中国论文网}(`:J#E)O

        (A)被否定;

    prC5uN,U0

        如果(B)成立,sina=2,则sina>1,(B)被否定中国论文网;kZE mn4A Y

        如果(D)成立,(sina+cosa)2=1+2 sinacosa=1/4

    wz\ Gz"W-W3hscp0

      于是有sinacosa<O,这与a为锐角的题设矛盾,(D)被否定,故应选择(C)。中国论文网6g3GK4n.z0g@

    运用递推法时,要首先确定题中的题设和结论是可逆的。其次,在逆推理和演算过程中,注意每步所得出的结论,并把它和题中的题设联系起来。中国论文网,LZ(]t,w/A

    六、图象判定法中国论文网(nk,Y5s b/?R F

    通过题目所给的图像或画出函数(方程)的图像做出判断选择的方法,叫图像判定法。中国论文网6i7^ d9E)E0h6Gd

     例7:方程sinx=lgx的实数根个数是(  )

    4d2K,rP'qzX }wP,AZ0

      (A)1    (B)2    (C)3    (D)大于3

    #Ad"c`f{y0

    在同一直角坐标系中,分别画出y=sinx和y=lgx的图像,由于两个图像有三个交点,故选(C)。

    LkQZ c+FV$C0

    由于解选择题不反应解题过程,所以有的题兼顾图像来解,往往事半功倍。中国论文网dcT5V"^1J

    七、变换法中国论文网xd"^_kQ Hh)S

    此法通过对题目中某些因素进行变换,把复杂问题转化为简单问题,特别是解决参数方程方面的问题尤显其优越性。中国论文网 a1@;Vr1HbmE

    例8: 参数方程    x=(2a-1)/(a+1)中国论文网'p:R Sb:D HCx

                     y=3a/(a+1)

    /[+oy2W'~#dS @0

        所表示的曲线是(  )。

    &\2x _G{3r,C0

        (A)一条直线    (B)一条射线

    ^W_ z t0

        (C)一条线段    (D)一条直线除去一点中国论文网 J.k!b _l\

    分析和解题:判断由参数方程给出的曲线形状,一般是将参数方程变换为普通方程,其关键是通过变换消掉参数,写出变量x、y的直接函数关系式。本题采用代数消参法进行变换。

    NwB7l0b7I0

    因为x=[2(a+1)-3]/(a+1)=2-3/(a+1)    ①中国论文网N3D+k4mo%@

        y=[3(a+1)-3]/(a+1)=3-3/(a+1)    ②中国论文网hr@0MPtk5ZL9b:|p

        (a为参数)

    !r4X1w4ETd_0

    由①-②得x-y=-1,即x-y+1=O。但由①可知x≠2,由②可知y≠3,所以普通方程为x-y+1=0,去掉(2、3),正确答案应选(D)。

    aDr\7vh@W0

    综合上述可知,数学选择题的解答方法较灵活。根据选择题的特点,我们应先考虑用间接的解法,不要先入为主而一味地按常规题的处理方法去解。例如用筛选法,即使不能全部将干扰排除,至少也可排除一部分,从而简化剩余部分的选择程序。解选择题还要能从题目的定量结构中进行定性的分析,将定量问题跳跃过渡到定性问题分析,可以使判断过程得以简化。解选择题不同于解常规题,应有一个观念上的转变。其一,应注意提高思维的灵活性和敏锐性,使得能以最佳方法迅速而准确的得到答案;其二,要从正反两方面的对比中,运用“双基”知识,准确得出结论。

    Q4d)A G vuP0

     

    1sf/VL ZgV*nS0 作者单位:南京市扬子第一中学
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