如何确定不等式中的参数范围

如何确定不等式中的参数范围

肖常定中国论文网$c:}'eZj `

（兴义一中，贵州  黔西南  562400）  

    摘  要：确定不等式中的参数范围，是高中数学教学中的难点，也是高考的重点、热点。求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧。这类问题常常使学生在学习中感到束手无策，即使能解，过程也十分繁锁，或解而不全，针对这种情况，本文给出一些基本解法，加以探讨。

关键词：参数；不等式；主元；数形结合；单调性

一、分离参数法中国论文网5z CJ({y;pLj

分离参数法就是通过不等式的同解变形把参数分离出来，转化为形如 或中国论文网e1^"S|`~%r

的形式，再求分离得到的函数 的最值，得参数 的范围，即 或 。这种方法是求参数范围的一种重要方法。中国论文网:_&m
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例1、       已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

    分析：分离参数 ，转化为利用基本不等式求最小值中国论文网2Z(Lo!I]ic4Tc'q

解：由题意得，当 时，恒有 成立

设

则有 中国论文网'\#nf'i*ho

当且仅当 ，即 时，等号成立中国论文网~/{;t5q6cYSV7na

的最小值是4中国论文网&G*y7]c)H$w3X

的取值范围是 ）

例2、设不等式 对任意正数 ， 恒成立，求 的取值范围。中国论文网gO&~}7[1M

解：由 知，

将不等式变形为 ，令 ，则 中国论文网+M8M#S'UF$cI+sw

且 

，故 得取值范围是 中国论文网O~o1w^$j.G6T+c0o

二、变更主元法中国论文网aAk {0d@]D,Y4y0G

变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。此种解法可以说是一种逆向思维法。中国论文网,^a B.\n)D$g

例3、设对所有实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。中国论文网"mxU0@s M)L

解：视 为常量， 为变量，将原不等式变形为中国论文网 @2L*M ^Q v

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即 （1）中国论文网q$XX:~3p

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（1）式可化为 （2）中国论文网7I8i1m6A4mh

时，            即 中国论文网f"{;D,E0]BiF*U

解得 ，故 得取值范围是

   说明：常规方法是根据关于 的不等式恒成立的条件，列出参数 所满足的不等式组，通过解不等式求 的范围。本题通过将 与 的位置互换，视 为参数， 为变量，则可使解题过程简捷多了。

三、数形结合法中国论文网/b[!tZtn.t

    将不等式中的数量关系赋予几何意义，往往变得非常直观、简单。通过“数”与“形”的转换，可使不等式中的参数范围简捷明快地求出。中国论文网rD"ou{o5n

例4、不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围。中国论文网;g-F0ZR0Y#\

解：令 ， ，中国论文网*`*zou0{

在同一坐标系中作两个函数的图像如图所示，

当直线 与半圆 相切时，中国论文网`0zhb+JIodYb

圆心 到直线 的距离为1，中国论文网Q2e&Q$r#m1s3ti

，解得 ，

的解集为空集，

四、利用函数的单调性求参数的范围

例5、设 ，当 时，都有 恒成立，求 的取值范围。中国论文网9T"?4X+`_I

解：设 ，

则问题可转化为当 时， 恒成立。

（1）当 ，即 时，对一切 时，总有 成立。中国论文网jRq;uH|

（2） 当 上一篇             下一篇