基于模糊关系矩阵的多目标模糊优选决策模型

基于模糊关系矩阵的多目标模糊优选决策模型中国论文网[2f{8D;j`k%B
黄伟杰 李慧婧
~b ~.w(R5s p"W(VV0（珠江水利委员会珠江水利科学研究院 广东珠江 510611）
4g%s E0A F6{ w'[0【摘要】针对现有的模糊关系矩阵排序算法只是在一定的优化中国论文网!A1v0W]t(c.Gi
准则条件下进行排序，难以进行模糊关系的有效性进行检验，本文中国论文网U3e5]$P^+D
提出分两阶段构建偏好关系矩阵，首先用三标度法构造模糊排序一
HDD
Q%_\;f0致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标度语气算子得到中国论文网ImZj7J`,T}D1_l
模糊关系矩阵。应用偏差最小平方法分别得到评价目标的权重和方中国论文网6h&F6vaV2d
案的相对优属度，综合运用模糊优选模型得到方案的优劣排序。
b,D-J F6l0【关键词】模糊关系矩阵；多目标决策；权重；模糊优选中国论文网FZ4z_4D9\g.c
1. 引言
s
N^1a+_ A1z0多目标决策问题是决策者针对多个目标，对有限方案集进行综
F8dihCw0合评价后，对方案集排序并选出最满意方案。在决策分析中，为了中国论文网 jz.`L^5@`T$YK
得到最终的方案排序结果，常常决策者给出的是关于两两方案比较中国论文网L"Wv'bTC
的偏好信息，由于决策问题的复杂性，决策者很难直接给出所有方中国论文网8l.nNO3[6k,L"`H8[
案的排序结果，但对两个方案的优劣容易作出判断，因此研究带有中国论文网(k5o7R6Y`"f)~p
两两方案比较偏好信息形式的决策问题就成为决策分析中的一个热
m~%E$qpG[L6W9T;d0点问题。决策者给出的两两方案比较的偏好信息，可由一个判断矩中国论文网`-IZ)[na
阵来构成，从判断矩阵中元素表示方式大致可分为两大类：一类基中国论文网e1d4[ W(wc
于互反性的AHP（Analytic Hierarchy Process）判断矩阵[1] ；另一
c0pfZIag+n6C0类是基于互补性的模糊关系矩阵[2]。基于互补性的模糊关系矩阵由
q+Xa(l'MS*w0于符合我国的思维习惯[3]，近年来受到人们的关注，涌现了一些最中国论文网 w_T(a4pI2i6sa
优化排序方法[3~6]，这些方法大都是从完全一致性定义出发，考虑中国论文网M/P4?$N"q]_
到不同的精度要求和优化准则的排序方法。在给出两两比较的偏好
P2nUy*Q0信息时，决策者一方面由于受到知识结构、判断水平、个人偏好和
;t*c]mz9A*}.Ffq"G0标度掌握等因数的影响，很难给出满足完全一致性的模糊关系矩阵，
C,neox|[0另一方面优化排序算法只是在一定优化准则下的排序方法，难以对
)R!r5a'hS F2Qn0\0决策者给出的模糊关系矩阵的优劣作出判断，往往导致决策的重大
9ATpKx0偏差。本文提出分两阶段构造偏好关系矩阵方法，首先用三标度法
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{ nu/@0构造偏好排序一致性矩阵，再在该矩阵基础上采用基于互补的多标中国论文网1I}Jx*^e#{ dT3^
度语气算子得到模糊关系矩阵。这样既简便有效地解决了排序的有
3I_j[G0效性，又避免了三标度法存在的判断信息、一致性和积累优势度等
/? Q m/|:k"{J}-q+i0信息的损失。将事物目标的重要性和优越性分离，应用文献[3] 提
:pa4vx,gg$p0出的加权最小平方法求解目标的重要性和方案的优越性，综合运用中国论文网 }7Q9UjY-IZ
模糊优选[4] 得到方案的优劣排序。
&Sm?9pMW
a02. 有序模糊关系矩阵的确定[2]中国论文网tX+Oa6A9[8u
设有n 个决策方案X={X1，X2，…，Xn} ∈ Rm 组成方案集，
,}X
u-BraCL0每个方案有m 个指标记为指标集A={A1，A2，…，Am }。对指标
|9s e)K+\~XR0集A 就“重要性”进行二元比较的定性排序，得指标集重要性二中国论文网rk3qcB9j1?
元比较排序一致性标度矩阵E。
.Ekoj A#r;hW0定义1 设指标集A 中的元素Ak 与Al 就重要性作二元比较，若：
RX d?6W6cm"@,Zl0（1）如果Ak 比Al 重要，则ekl=1，elk=0
+W.t1f&w%iy%|0（2）如果Ak 比Al 一样重要，则ekl=elk=0.5中国论文网 X6pqv*H2RaTSz6Cg
（3）如果Al 比Ak 重要，则ekl=0，elk=1
4?t3]:Ry;`&p;K7XW0其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。中国论文网:bg,r Nwf E Zk
定义2 设指标集 关于重要性的二元比较矩阵
_M x*f&@#R;N0（1）中国论文网u;K f*vo8z;b\+Cx
满足 （2）中国论文网[,c,n,J0N'z
则称 为指标集 重要性二元比较排序标度矩阵。
NSB3Yj0定理1 指标集A 重要性二元比较的排序标度矩阵E 为排序一中国论文网?*P1XAJ
致性标度矩阵的充分必要条件[3] 为：①若ehk>ehl，有elk>ekl ；②若
){,ZF7H:a7K.tl0ehk<ehl，有elk<ekl ；③若ehk=ehl=0.5，有elk=ekl=0.5 ；
"oqR7aJEB5PG0证略
C{N,{ [K@%L0定义3 在建立排序一致性标度矩阵的基础上就指标集重要性进
%hn}&pK$XmR0行二元比较：
U6gy%SS%c$q/\ lmmYW0（1）如果ekl=1，指标Ak 对Al 就重要性进行二元比较，得二元中国论文网v@2\i(s.py/D!{-nl
比较模糊标度βkl。中国论文网K/QK)vO4f-Wr_
（2）如果ekl=0，则βkl=1-βlk
8K,rZNc8U2d;QC:Y0（3）如果ekl=0.5，则βkl=0.5中国论文网$ofPF$? Pq6HO+E
其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
n3f[q'g cI0得到的二元比较矩阵中国论文网mG.k$SjQ'\
（3）中国论文网 W3_.PgigjV;^Z
称为有序模糊关系矩阵。
(wEC sff
{2E,PF0其中：二元比较模糊标度βkl 与语气算子的关系见表1。中国论文网$TnK0G4U|7DZ
表1 语气算子与定量标度间的线性关系中国论文网6KE7rEo;]w
语气中国论文网"GQ&jY H;\4L;|
算子中国论文网;z*qfjkk\-Y
同样稍稍略为较为明显显著十分非常极其极端
v? ^/E~ |kL0无可
uE-Rd)YS0比拟
rbwz$W$M&G raL/my0定量中国论文网FwoQRF5^0MH+S \
标度0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1中国论文网 q N0\(gX(fOO"k.Z c
3. 目标权重的确定
I.j5vc(o-O7`N J,N/l0假设有序偏好关系矩阵满足完全一致性，则根据完全一致性偏
| oG0[w1Vf0好矩阵的性质有：若目标重要性的排序向量为 ，满中国论文网Z r*l g3kMy
足 ，则必满足中国论文网7Zd n#Yz)IW/d#r7I
（4）中国论文网+p6^ee!~G'k
即对任意两指标Ai 与Aj 的比较有：中国论文网D!Y,Oo~~WrrKn
（5）
,|P&i,JCTrII0变换可得： （6）中国论文网A[}5r0Ac
由 ，可得：
.sD~#E\ SHsH0（7）
;lGHY5gz7\@0（8）中国论文网i[r0P'p)p
即为： （9）
Y4qV6Wu9u0若有指标Ac 存在βcj>0.5，j=1，2，…，m。则Ac 为最重要指标，中国论文网 f7f vV0hkh
式（9）就可变换为中国论文网L
J?gu9IC
（10）中国论文网$u"X~%Qgb"P.A!L
不妨设最重要指标为A1，则式（10）即为文献[2] 提出的简捷算法。
G@
h5gg+H+s0B
Vw0由于受到客观事物模糊性和决策者知识结构、判断水平、等主
/P M3K3ate#zj[wY0观因素的限制，决策者很难给出满足完全一致性的偏好关系矩阵。中国论文网*y U3kw7{3vLc
若偏好关系矩阵不满足完全一致性，则决策者就指标Ai 与Aj 二元
.Dz"Q}e4C ZR0对比作出判断的偏差为δij=ωi-βij（ωi+ωj），则决策者作出的模
r$x p.rpN.B$CB D0糊偏差矩阵的偏差可用二元对比偏差的平方和表示：中国论文网"S$V{R*]
（11）中国论文网`^R ~3Z,n
其中指标权重ωi 用式（9）确定。
GF9@l7Nt?
X"S0若d=0，表明偏好关系矩阵满足完全一致性，若d>0，表明偏
.w:yzNC0bb0好关系矩阵为非完全一致性矩阵，则可建立决策者对所有二元对比中国论文网$C&l \+Bb]
的加权距离平方和最小的非线性规划模型，
'Iq8{3x0K+UOM6h0（12）中国论文网Y!~p}
E+Q
（13）
Ru1mgI#q \0用矩阵表示为：
Ph
]GL4fZ0（14）
&l,g Yw+F"m!TQ5^O0（15）
0O!`TR sulU0其中： （16）中国论文网/wzF#X/Y"u:q*hq
（17）中国论文网s8{wJW
（18）中国论文网#`,iV-yW
建立Lagrange 函数：中国论文网 hp `tfi
（19）
"W`5_T5c0令
WXM{-K-?d0得： （20）中国论文网T[:EGq(` Rs
（21）中国论文网 k4U+}0`HQ:W
参照权的最小平方法[6]，证明模型求解的合理性。
$b{0I-r4k,\04. 多目标模糊优选模型中国论文网
P6@@%h!t;~+bKL
若决策集中有m1 个定性目标，方案集就定性目标Ak （k=1，2，…，中国论文网G2O'w.H@Z.ta
m1）的“优越性”进行二元比较，类似指标的“重要性”比较，得
Xv$l+q-u0方案集的目标Ak 优越性的二元比较排序一致性标度矩阵Fk=（fkij）
j)K/l
oEkE![ q~6[*Rp0n×n，并在该矩阵基础上进行二元比较得目标Ak 方案集的优越性有
${O jmN"Yx0序二元比较矩阵ρk=（ρkij） n×n，令 ，i=1，
"jt(s,C#a02，…，n。统计决策者作出二元对比偏差的平方和中国论文网?O PBo
Js9K
，如果Dk>0，则建立非线性规划模型中国论文网-z6Z
U.{"|
（22）
;cg$JO }w0s.t. （23）中国论文网 z#|6jI NM#{
解得： （24）中国论文网j5Xh1r
ho/?
其中： （25）中国论文网#pM+eQ1PWy!y
定性目标Ak 就优越性而言为越大越优，则定性目标Ak 的相对中国论文网*_"\7[ NK%](c lt/{
优属度。中国论文网 [|]9a.wznl
（26）
e+u0w&h-\U0就定量指标，由于不同的评估指标在数量级上是各不相同的，
jg6X g7Q!}pmL`!N0必须将其进行规范化，根据定量目标的性质可按效益型、成本型和中国论文网c;F;]:ZP(L+Lz&L
适中型指标确定目标的相对优属度：中国论文网'k-Cm2e.|#G)B8]
效益型指标 （27）
2W8n&g0q"U4a0成本型指标 （28）中国论文网;i%Q,F4HwL G
适中型指标 （29）中国论文网*mHP(@Z
由模糊优选模型可得方案Xj 的相对优属度uj中国论文网 J!H8\3~ IuWelV
（30）
c'BL`/z}0其中： ， 分别为方案集的理想“优”方案和理中国论文网p4m/nk_|
想“劣”方案。中国论文网7Q5l;k.Y6\K gt!J
排序方案集的uj，即得到方案集的优劣排序。中国论文网)y&x ]8M:O0~
5. 应用实例
YYgk7l0三门峡水库在某次洪水调度中拟定了三个可行方案。考虑三个中国论文网5H
u(R3z;r,\2\0KJa)]i
定量目标：①水库下游花园口洪峰流量，②水库调洪最高水位，③
q nE]*e*HT;Y"r0水库泥沙淤积。两个定性目标：④下游防护地区的防洪风险，⑤水中国论文网tCr;NU gh
库防洪风险。中国论文网S` bG*la
表1 给出三门峡水库调度系统各方案的花园口洪峰、水库调洪中国论文网*Rl~)N5wziC'P
最高水位、库区泥沙淤积目标特征值。中国论文网0}c%E
E&Zu)Hy&F1v h
表1 三门峡水库防洪调度各方案的目标特征值中国论文网&M!n(Av@Vu
Table 1 Objective eigenvalue for three flood-control dispatching
_\;Hmu c:}i0programs of Sanmenxia reservoir
9ce7ubu3k K2Qof0目标中国论文网2K3{,Y)d)\nQ^?
目标特征值中国论文网x R9Lk4~
方案1 方案2 方案3 方案4 方案5
8Qphu'Klj0（1）花园口洪峰（m3/s）
5eho'z,G&~bWP0（2）水库调洪最高水位（m）中国论文网 jS7A$m,d}L
（3）库区泥沙淤积（104t）
Q!hLh\#IImu010000中国论文网/g"b$|X1r*}
306.00中国论文网F!W6}Vs&Q
6.5
-HG@XAz09000中国论文网atY*]T5Aod#d
U?$r
308.00
2S4H+^s3N$RQXT08.0
/GaqiRe08500中国论文网 S1}8I&K^ya7E2z!V\
310.0
,D Z8t1~4g?8v09.0中国论文网#~:W'[/hY{)j \H
8300中国论文网;|I1BJJ~z
312.00
1Sh0mAmJ*Bn010.0中国论文网;OUN l0k?~`
8000中国论文网0oC6vc8d Yz6zp
313.5中国论文网kH-m"|$u$Y
13.0
^`(J&vr4OGD0⑴确定目标权重中国论文网rL"E/bDEhv
决策者经仔细考虑，给出5 个目标就重要性的二元比较排序标中国论文网i'K+T%~c6u-`K(p(`
度矩阵
)W}Z{.WU&\7G/]^%m0可以判定出该矩阵满足排序一致性条件，即为二元比较排序一
:dm)_.q_ i}0致性标度矩阵，决策者就ekl=1 元素，经认真考虑，给出二元比较
DaGU0OJ/xk#Q0模糊标度βkl，然后令ekl=0 元素的模糊标度为βkl=1-βlk，ekl=0.5中国论文网HL[7X-I6XAwG|
元素的模糊标度为βkl=0.5。其中：k=1，2，…m ；l=1，2，…m。
+Y7{X\3Y\
l+k0得有序模糊关系矩阵
#B6h]6c.kf%_0由式（21）得目标权重：
3Lc#lQlq7X0⑵确定目标相对隶属度中国论文网 p:N.FM"G4e_
现在先来确定目标④关于五个方案的目标相对优属度。显然，
[ tq M-zZk0方案的花园口洪峰越小，下游防洪风险越小，则可得方案集就目标中国论文网#I@4vb\)F;VK_ g
④的排序一致性标度矩阵中国论文网:@JC3f*m$A}
经过考虑认为：得方案集就目标④的有序模糊关系矩阵中国论文网X'O8u:l`
由式（24）得目标④的优越性值：
:EF][Y{&Q[`0同样可得目标⑤的优越性值：
/kT aOf8ml*b0由于目标①、③为越小越优目标，目标②、④、⑤为越大越优中国论文网MP:g2u8l}Z F'RQb
目标。中国论文网-~ WT0aE%g+t
则可得方案集指标相对隶属度：（下转第325 页）
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