几何变换的价值
2015年10月10日 08:56 作者:林小红 肖运鸿
几何变换的价值
ve#^f N9oI0林小红 肖运鸿 赣南师范学院中国论文网5]x.A+]8V{
基金项目：江西省科技厅科技计划指导性项目（2009ZDG03500）。
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}xA G6o8x0摘要：几何变换是现代几何学的重要主题。分析和阐述几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值，有助于更加全中国论文网d*[kt\
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面地认识几何变换。
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o{L0关键词：几何变换；价值；F•克莱因中国论文网 x"Xo`#b
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变换是数学中的一个带有普遍性的概念，它指的是一个集合中国论文网&V,Y.tj w!s!u
到其自身的映射。所谓几何变换，就是图形（即点集）到图形的中国论文网| X ]%^ O
一一映射。尽管几何变换的观念古已有之，但是在 19 世纪之前
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|U%r"M&f0一直没有在几何学中起多大作用。1872 年，德国数学家 F•克莱
(T$f@-}e i!v,q/yi{z0因在受聘为爱尔朗根大学数学教授的就职演讲中提出了著名的
n\m ?M/@$sKf0《爱尔朗根纲领》，该纲领第一次提出了以几何变换群统一几何中国论文网[P*u k/Z%k'dc
学的重要思想。克莱因以变换群对几何学进行分类特别是强调几
#| B0l R%K#? v#[0何变换下的不变性的思想不仅对几何学产生了深远的影响，而且中国论文网5[A:o dQt
极大推动了力学、物理学、化学、计算机图形学等领域的发展。中国论文网 AIX~|k1u~vb+~K
在现代，几何变换已是几何学领域的重要主题，又是处理数中国论文网}o@%s9m I
学问题的一般思想方法，还是展示数学之美的重要窗口，也是体
+~(Hl)Yl:q0现数学广泛应用的极好范例，同时还是中学几何教学改革的重要中国论文网7p;n&_$NM5U&d
突破口。关于几何变换的具体内容，在几何学的相关著作中已有中国论文网D\F1SL#X#?A.u
详细的阐述，在此不再赘述。本文主要探讨几何变换的方法论价中国论文网b9whz]yw^*m
值、美学价值、应用价值和教育价值。
Jbw9? z7N0C#Q2\01.几何变换的方法论价值中国论文网 |X3V-F+[V-Q {
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以公元前 3 世纪古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为代中国论文网%s`d,v3C R"{Ia
表的传统平面几何提供了处理几何问题的一般方法，就是将平面中国论文网[ s ?I
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图形视为静止的图形，从既定的公理出发导出几何图形本身的内
E5[!Y"\ x6r0在规律。这种方法长期以来一直都是人们普遍遵循的几何学范
7[!?(LSv F+D(S8r"p0式。但是，这种范式用以解决平面几何问题时经常遇到巨大的挑中国论文网!{M
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战，即难以找到合适的辅助线。中国论文网 L.Lu ms7n5b
19 世纪末期以后，几何变换方法得到前所未有的重视。这种中国论文网&r.~$Ljl,S&]t
方法通过图形的运动、变化来研究图形的本质规律，改变了传统
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L ? Y,j3p hy0几何静止的研究范式， 为几何学带来了新的活力。 数学家们发现，
z2f6jRJ0几何变换法是一种具有普遍意义的数学思想方法，往往在解决问中国论文网(o5N+q2go
题的过程中能够收到意想不到的效果。
y,?A$ivqa0借助几何变换法， 可以化解传统的令人想破脑壳的 “辅助线”
&q(D#n X,Y4oH0难题[1]，为几何论证提供一条新的更为有效的途径。对于较复杂
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do QA0的平面几何问题，往往通过一个几何变换（如平移、旋转、反射中国论文网 dY0v#E#tfav
等），就可以将原来分散的几何条件相对集中，从而使条件与结中国论文网+CI&k K#t.q
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论的关联一目了然。传统意义的“辅助线”只不过是已知图形的
#]-J(t.Q(i Z0某个元素在几何变换下的对应元素。这样，“辅助线”就由几何
wiT1cZs0变换自然而然孵化出来，而不需要去冥思苦想一题一作了。
4P7}8mXCA @#@#h K'~0几何变换作为一种思想方法，其核心是充分利用图形在各种
@S*?.H XcmVB9d!P0变换下的不变性质来解决问题。现以仿射变换为例。我们知道，
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K V4^-`#z7I*G0仿射变换具有一系列的几何不变性。例如：仿射变换将直线变成中国论文网:N#u N,^5A8E[
直线；在仿射变换下，共线点变为共线点，共点线变成共点线；中国论文网(bdh ] FN.F
在仿射变换下，平行关系不变；在仿射变换下，共线的四个点及
QOy g)cmXG0共点的四条直线的交比不变，特别的，共线的三个点的简比保持
W{)g_V3~ny0不变；等等。我们还知道，通过仿射变换，可以把一般三角形变
?#l-v0M~ JR0成正三角形、平行四边形变成正方形、椭圆变成圆。这样，利用
]L C$X ^9H [6\0W0仿射变换的几何不变性，就可以把正三角形、正方形和圆的有关
-U7Peq;T^ [L's0性质分别推广到一般三角形、平行四边形和椭圆上。由此可见，中国论文网2F A9MiH6C!F%[ B
几何变换法是化一般为特殊、化繁为简、化难为易的一种有效方中国论文网 e(r'n9x
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法。
u*^pa6U~j0应当指出，几何变换法的有效运用也需要与传统思想方法的中国论文网W k Y6PC6@ Jg
有机结合，也就是说必须动静结合。中国论文网3RAi$x"JU$g
2.几何变换的美学价值
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ANl0虽然数学是一门高度抽象的学问，但是在数学家眼中同样美中国论文网1Y'J8b+r:xR7`]
不胜收，令人陶醉。英国著名数学家罗素就说过：“数学，如果中国论文网0{J%K_ H3C
正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的
{#~H"ae0美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方
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a H0面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高中国论文网p cU\-kub;Nl
的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满中国论文网+}7z0P,Y
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的境地。” [2]一般认为，数学美表现为简单美、对称美、统一美中国论文网FX%E b N#Ti
和奇异美等许多方面。中国论文网W i?u8G/v6p
在数学的百花园中，几何变换也绽放出自己的芬芳美丽。
rl._ ~7up/x0几何变换之对称美。在平面几何或日常生活中，会见到各种
@J"mq;C&ssR0形状的图形。有些图形具有以下的特征，就是存在一个非恒等的中国论文网/~j.o#\nFU;w
合同变换（又称保距变换，即保持距离不变的变换，如平移、旋中国论文网
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转、轴反射等）使图形变成自身，这样的图形称为自对称图形。中国论文网
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自对称图形给人以对称性的美感，它在日常生活中处处可见。同
5R,C}#p^5r$o$n2q)fk0样，在其他变换下保持不变的图形也能给人以对称一样的美，不
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@0妨称之为广义对称美。现举一例加以说明。法国数学家帕斯卡提
zK"wL3`)|0出了一个著名定理（后人称之为帕斯卡定理），即：圆锥曲线的
t7OT b1T{x0内接六边形对边交点共线，这条直线就称为帕斯卡线。当圆锥曲
7W m gc-S ?0线上给定相异六点后，按照它们不同的顺序进行排列，可以构成中国论文网;k3k7{"h)i&}h-uO
60 个完全不同的六边形，每个六边形都可以构成一条帕斯卡直中国论文网'icY:U
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线，60 个不同的六边形可以构成 60 条不同的帕斯卡线，这 60 条
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{ j]4xB0帕斯卡线所构成的图形就称为帕斯卡构图。可以证明：在六个顶
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B0点构成的 120 个置换中，使帕斯卡构图保持不变的实质上不同的中国论文网8E!Po L5N!FV tF
置换恰有 60 个。换言之，帕斯卡构图在这 60 个不同的置换下都中国论文网6OW1u ^;i
保持不变。由此我们可以领略到帕斯卡构图奇妙的广义对称美。
9\i|P{0几何变换之统一美。克莱因的《爱尔朗根纲领》以变换群的中国论文网 `4{,g"X KQ1` eGfH {
观点统一了 19 世纪发展起来的各种几何学。克莱因认为，不同中国论文网[8EL/CDi
的几何学就是研究在不同变换群下的不变性。欧氏几何是研究刚
vIM_4o|0体变换群下的不变性；仿射几何是研究仿射变换群下的不变性；
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F u0射影几何是研究射影变换下的不变性。 同时， 罗巴切夫斯基几何、
7L.b5pxn O0黎曼几何也可视为在某种变换群下的不变性的研究。几何变换揭
p"m3\] ?#r0示出几何学是一个统一的整体，给人以美的享受。中国论文网T4c2U7Lg(X
3.几何变换的应用价值中国论文网 e I)j h8E5d {
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几何变换不仅在数学领域内有重要的应用，而且在其他领域中国论文网_l5B,HT^!W
也有广泛的应用。
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th0物理学中，仿射变换应用于密集物质的连续变换的理论，例
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g:C,doQ0如弹性理论、流体理论、电磁场理论等等。密集物质的任意微小中国论文网1lKF!Kb o0rk|)B
元素的变化“几乎”都可以用仿射变换来刻划。中国论文网Eq;D |S"c
化学中，对称变换应用于对晶体进行科学的分类。对称性是中国论文网6{oI3DWs,Y
晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同晶体的对称中国论文网 F L
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性往往又是互有差异的。因此，可以根据对称特征来对晶体分门
H+I"|&u;B/g0别类。
计算机图形学中，图象几何变换是数字图象处理的重要技术之
[/k g*F)t4l] r0一。几何变换可以看成图像中物体（或像素）空间位置的改变，
O Gq o J/eUM0或者说是像素的移动。图像的几何变换主要包括图像的缩放、旋中国论文网o1W L)Y8^gu w,R
转、移动、剪取等，其中使用最频繁的是图像的缩放和旋转，它
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G0们已被广泛应用于照片、图画、书报、医学图像、卫星遥感图像
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P0的加工处理。为了得到立体感丰富、图像逼真的透视图，首先需
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v/k \]0要对变换物体进行平移、旋转等变换，然后再进行中心投影的透
|3pV{ g$mA0视变换。中国论文网9uf4xI9Q"O J
4.几何变换的教育价值
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C_.Yi;q0F•克莱因非常关注中学数学教学改革，担任了第一届国际数中国论文网v-jk-l*P.vOsX
学教育委员会的主席。在克莱因几何变换思想的影响下，几何变
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w'T0换逐渐渗透到西方中学几何课程中[3]。中国论文网0Zy M_|l%B;o2{
我国传统的几何课程存在过分注重理论体系的严谨性、以公中国论文网le7_ t/X
理化的思想一贯始终的弊端，其后果是使得原本生动有趣的几何中国论文网On8r:E _5y~&C
课程显得抽象、乏味，学生厌学。在新一轮的数学课程改革中，
6dw[;H#_.^+G0几何课程的内容发生了重大的变化。在《全日制义务教育数学课中国论文网5m'`9|f(|
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程标准（实验稿）》中设置了“图形与变换”领域（2011 版与此中国论文网"m%a?6X"d.^4l
对应的是“图形的变化”）。将图形变换的观点和内容适当地引
H!n3i'^b _ nkx0入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和国际数学教育
.^1p \p l,U*x T:x0的发展趋向。
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C*c o'L0几何变换的教育价值主要体现在四个方面[4]：中国论文网 V!E(Zvz5T.EH
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（1）有利于发展学生的空间观念。学生从现实情境出发，
0Fnk4`k,^:s6}8P6b`3Y0学习几何变换的基本性质，欣赏和体验几何变换在现实生活中的中国论文网bU9C.G
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广泛应用。这一过程有助于学生正确把握具体物体与抽象图形的
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`;F0相互转换。中国论文网
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（2）有利于发展学生的几何直觉，增进对数学的理解，促
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~%ys0进创造力的形成。中国论文网S\S9t K-C'}&X
变换使得几何由静态转向动态，几何不再仅仅是对静止图形中国论文网e7gjui
的观察、思考和论证，几何的对象是可以操作的，例如轴对称和
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wh3M0折纸等。这种“从做中学几何”的方式能激发学生的学习兴趣，
D2W {@%G+V h(nT0提高学生的几何直觉能力，促进学生对数学的理解，激发他们的
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KP0创造力。
ep!V[q W bZ_/Oj0（3）几何变换是研究几何问题的有效工具。通过将图形平
tFM8m2n aiI F1~0移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于发现图形的几何
l pv%hs.@3X/WOqe0性质，从变换的角度来思考问题，可以使很多技巧性强、难度较
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p0大的几何问题变得简单、容易。中国论文网Y{C)wO?+_j
（4）几何变换可以作为论证的基础。通过平移、旋转、对
lc@0{9iK0称、相似等几何变换，往往可以简化传统欧氏演绎几何的证明。中国论文网DI D8h G G JHR
几何变换的应用有利于开阔学生的证题思路。中国论文网(X`8sV}2ld
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几何变换的方法论价值、美学价值、应用价值和教育价值越
Qj y|3nxV0来越得到人们的广泛认可。可以预见，几何变换还将进一步显示
d4k,U&FB~8C$_|0其新的价值。
u6[ gi i0c0参考文献：中国论文网 TJ
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fwM.tb6\ BM0出版社，2010：2
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[3]张奠宙,沈文选.中学几何研究[M].北京：高等教育出版社，中国论文网:q8L'E/l Z B8Q8Tw,X&v
2006：118
X ZK BQ"I j;Lf f0[4]芦淑坤.图形与变换课程内容的教科书呈现研究[D].东北
X
}z\g zw U0师范大学，2006：5
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