从求数列通项公式问题谈高中生数学反思能力的培养

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                                                                                   从求数列通项公式问题谈高中生数学反思能力的培养
%bo q$UWG0                                                                                                              邢锡光1    张璟怡2中国论文网8~KX4[
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                                                （1、武汉市洪山高中，湖北  武汉  430070 2、武汉市关山中学，湖北  武汉  430070）
V/c.^:?)dt5@f7~Qx0摘  要：求数列通项公式是高中数列一类常见和重要的题型，其题型解法较多也复杂，许多学生产生对求通项公式的畏难和消极情绪.我们该如何从课本内容入手，通过不断改变条件，不断的反思，将此类问题深入下去，使学生突破和解决这类问题，成为目前我们关注的问题.中国论文网(f2@$u
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关键词：数列；通项公式 反思能力 中国论文网 cB!EL?oz5}`

w8jqF v0求数列通项公式是高中数列一类常见和重要的题型，也是高考的热点之一，其题型解法较多也复杂，许多学生产生对求通项公式的畏难和消极情绪.我们该如何从课本内容入手，通过不断改变条件，不断的反思，将此类问题深入下去，使学生突破和解决这类问题，成为目前我们关注的问题.
L{fZC7b"g0由等差数列概念 （常数），学生们掌握了迭代法和累加法求通项公式.中国论文网}9I)v[y#g'@?_G
反思1 若 ，如何求通项 ；中国论文网al7_(sggw
尝试当 分别为 时求通项 ，不难发现仍可由迭代法和累加法转化为数列求和问题解决.注意合理运用分组求和、裂项求和、错位相减求和等基本求和方法.
a*O7l8b&O.XO(V0由等比数列概念 （常数），学生们掌握了迭代法和累乘法求通项公式.
X9p`sl/O0反思2 若 ，如何求通项 ；
{*b|dF%m[0|0尝试当 分别为 时求通项 ，不难发现仍可由迭代法和累乘法转化为数列求积问题解决.
H]%Gq6u-|U0反思3由等比数列概念 （常数），可等价于 ，那么若 （p,q为常数），如何求通项 ；
?Qb)Df}&M0学生合作交流后发现仍可由迭代法和累加法求通项公式，但累加法求通项公式难度较大.另外，学生已经对等差数列和等比数列概念有了较深的理解，可以适当点拨学生设法构造新等差数列或等比数列解决问题.
\w3B8s5g0尝试当q=1时， 为等差数列；当 时， 为等比数列；当 时，可设问铺垫，是否数列 为等比数列？从而归纳此类问题方法，先求待定系数x，由 ， 得 ，再构造等比数列 求其通项 ，最后再求通项 .
N#M/ty:Gk4z P0反思4若 （q为常数），如何求通项 ；中国论文网ylbIw)If
当 时，本类型问题仍可由迭代法和累加法求通项公式，但先求待定系数x，再构造等比数列求其通项是否还使用呢？中国论文网{*M0@av-A
尝试当 时，能否沿用反思3的方法先求待定系数？尝试的过程中出现了什么问题，怎样改进？从而归纳此类问题方法，
/X#vHW|n!F t0先求待定系数x，y，由  ， 得 ，再构造等比数列 ，最后再求通项 .中国论文网~#@M-Y4l7{y?
尝试当 时，能否利用已有的方法求通项 .
S;A*]8Q+LFJ0tT:d!Y0方法一：两边同除以 ，即 ，令 ，则 ，这样可转化为反思2解决；中国论文网 b/]'rz5F3oX
方法二：两边同除以 ，即 ，令 ，则 ，当 时，转化为等差数列解决，当 时，转化为反思3解决；
7f'I_\U)le(rt0方法三：先求待定系数x， ,再构造等比数列求解.
z7w7i.o,oK0反思5若 （r,t， 且 ， 为常数），如何求通项 ；
.V;|2^-?mqB(jz0学生合作探究，发现可利用对数运算达到将问题降次的目的，中国论文网5Ur"wRB#t&Cz@
 ，即 ，令 ，则 ，这样可转化为反思3解决；中国论文网D4Uiz7y#L0S
反思6若已知二阶递推公式 （p,q为常数），如何求通项 ；中国论文网3BxJ`H/er
经过前述五个问题的研究，学生可以顺利构造新等比数列完成通项公式的求取.中国论文网]"`"O'r(_+J
 ，即 为等比数列，最后转化为反思4求解.
Vh*E3[6\Uq0反思7若已知分式递推公式 （p,q，h，为非零常数），如何求通项 ；
!~8L;L9t;ru0学生合作探究可自行完成等式的变形， ，即中国论文网$O7cb`4XH"_~t-w
 ，（※） 中国论文网e?0RG(U
方法一：两边同除以 ，当 时，  ，令 可转化为等差数列求解；当 时， ，令 ，可得 ，这样可转化为反思3解决；中国论文网6tAS EJ`*O
方法二：观察变形式※的结构，先求待定系数k,t,s，再构造等比数列求解，
5V(N$p,e$l2t:dv)Ih#m)T0 即转化为 为等比数列求解.
3N GhYL&A0反思8若已知分式递推公式 （p,q，h,k为常数），如何求通项 ；
o!~y F8uoaJa?-D0学生合作探究可自行完成等式的变形， ，即
Jv[S6N},r-tT0 ，中国论文网R*{8m!o%L
先求待定系数g,u,s,t，再构造等比数列求解，中国论文网)L6hy5cz'PK P
 即转化为 为等比数列求解.
p~-[E+D0Zc0课本p57  给出填空 ，
3Q.s9z|8M7c9y6n7F0反思9若已知 等量关系，如何求通项 .
d5wPkMrzO+F0尝试当 ○1时, 可得 ○2,○1-○2得 ,即 故,  ,由等比数列概念,可求得通项,但要注意 时的情况不含在上述关系式中,须单独讨论.中国论文网8\:Pk @"l
最后通过练习来深化、理解和检验理论的学习.
cU8] Ay+`0ud6T.NA01、（2009年陕西卷）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.中国论文网+K@}_}:y+J1S? V
点拨:属于反思6的范畴.由已知 ，先求待定系数k,s, ,得 ，从而得到等比数列 ，再转化为反思3解决；或等比数列 ，再转化为反思1解决.中国论文网(^[0we(K4lle
答案： 中国论文网d3p%V$op3?
2、（2011年广东卷）设b>0,数列 满足 ， ,求数列 的通项公式.
r&\2@]-]x0点拨:属于反思7的范畴.由已知 ，变形得到 ，两边同除以 ，得 ，令 ，可得 ，当b=2时，转化为等差数列；当 时，这样可再转化为反思3解决.
6X{"Y|6}:IH_0答案：
]+mR o ta03、（2008年四川卷）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.
B2uD2V@ t0点拨:属于反思9的范畴.由已知 ○1，得
qpOOa]S$\4uh0 ○2，由○2-○1， ，这样可再转化为反思4解决，注意对b的讨论.中国论文网0j0_|D9tB:I
答案：
x(bQ%r2tM0受之以鱼不如授之以渔，将现成的知识教给学生，不如教给他们获取知识的方法，反思能力的培养将帮助学生变过去被动学习为主动学习的学习方式，也是学生能长效和高效学习的有力保证。

:S#jg(^#p C6i9F0参考文献：中国论文网~;j@)RM
[1]秦霞.浅谈由数列递推关系式求通项公式[J].数学教学通讯(教师版).
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