从求数列通项公式问题谈高中生数学反思能力的培养

 
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`.[(]1^0                                                                                   从求数列通项公式问题谈高中生数学反思能力的培养中国论文网m-cq+u@
                                                                                                              邢锡光1    张璟怡2
Hs!JQO8hE0                                                （1、武汉市洪山高中，湖北  武汉  430070 2、武汉市关山中学，湖北  武汉  430070）中国论文网Z/QC:\W2Ik/|8c
摘  要：求数列通项公式是高中数列一类常见和重要的题型，其题型解法较多也复杂，许多学生产生对求通项公式的畏难和消极情绪.我们该如何从课本内容入手，通过不断改变条件，不断的反思，将此类问题深入下去，使学生突破和解决这类问题，成为目前我们关注的问题.
c&qe:~!@0O9`F9N#n0关键词：数列；通项公式 反思能力

,gk$xqg*@N2Q0求数列通项公式是高中数列一类常见和重要的题型，也是高考的热点之一，其题型解法较多也复杂，许多学生产生对求通项公式的畏难和消极情绪.我们该如何从课本内容入手，通过不断改变条件，不断的反思，将此类问题深入下去，使学生突破和解决这类问题，成为目前我们关注的问题.
P6Q'JZ|3vu*G0由等差数列概念 （常数），学生们掌握了迭代法和累加法求通项公式.
j7G4iDIH0反思1 若 ，如何求通项 ；中国论文网5g3k|9B!?&@Z8wRn
尝试当 分别为 时求通项 ，不难发现仍可由迭代法和累加法转化为数列求和问题解决.注意合理运用分组求和、裂项求和、错位相减求和等基本求和方法.
a-w SYa g"m6U0由等比数列概念 （常数），学生们掌握了迭代法和累乘法求通项公式.
-Etz/JnHT YxV0反思2 若 ，如何求通项 ；
1jD+YbD$j*N0尝试当 分别为 时求通项 ，不难发现仍可由迭代法和累乘法转化为数列求积问题解决.中国论文网bP2~o mrq6n
反思3由等比数列概念 （常数），可等价于 ，那么若 （p,q为常数），如何求通项 ；
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^9au jSE+x0学生合作交流后发现仍可由迭代法和累加法求通项公式，但累加法求通项公式难度较大.另外，学生已经对等差数列和等比数列概念有了较深的理解，可以适当点拨学生设法构造新等差数列或等比数列解决问题.
CoH \/P/{u0尝试当q=1时， 为等差数列；当 时， 为等比数列；当 时，可设问铺垫，是否数列 为等比数列？从而归纳此类问题方法，先求待定系数x，由 ， 得 ，再构造等比数列 求其通项 ，最后再求通项 .
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VG@ x6e0反思4若 （q为常数），如何求通项 ；中国论文网 B0B+q&v/`!F9M
当 时，本类型问题仍可由迭代法和累加法求通项公式，但先求待定系数x，再构造等比数列求其通项是否还使用呢？
;@*lcV7T9rm0尝试当 时，能否沿用反思3的方法先求待定系数？尝试的过程中出现了什么问题，怎样改进？从而归纳此类问题方法，中国论文网Y%qG!]x.t2kp
先求待定系数x，y，由  ， 得 ，再构造等比数列 ，最后再求通项 .
FF%jP B%kf0尝试当 时，能否利用已有的方法求通项 .中国论文网`?3[eE6PI.fJ
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方法一：两边同除以 ，即 ，令 ，则 ，这样可转化为反思2解决；
H3T;M8VvX0方法二：两边同除以 ，即 ，令 ，则 ，当 时，转化为等差数列解决，当 时，转化为反思3解决；
S s6R2zh.mi7M"Ct0方法三：先求待定系数x， ,再构造等比数列求解.
/N3Hngp*C`xm0反思5若 （r,t， 且 ， 为常数），如何求通项 ；
A-d#M4M$rk3GPL%i0学生合作探究，发现可利用对数运算达到将问题降次的目的，中国论文网}\n$hg[k%J/x
 ，即 ，令 ，则 ，这样可转化为反思3解决；
yfu'PX&I d bq0反思6若已知二阶递推公式 （p,q为常数），如何求通项 ；中国论文网*VGgT u
经过前述五个问题的研究，学生可以顺利构造新等比数列完成通项公式的求取.
2MPf(S.P;J0 ，即 为等比数列，最后转化为反思4求解.
Zoz A5hI0反思7若已知分式递推公式 （p,q，h，为非零常数），如何求通项 ；
rpl-~e2m'f1m0学生合作探究可自行完成等式的变形， ，即中国论文网)~XF`@{
 ，（※）
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J0方法一：两边同除以 ，当 时，  ，令 可转化为等差数列求解；当 时， ，令 ，可得 ，这样可转化为反思3解决；中国论文网qQyPD1G5~.R-b4~
方法二：观察变形式※的结构，先求待定系数k,t,s，再构造等比数列求解，中国论文网:`S8axB
 即转化为 为等比数列求解.
L+ug*y}f4nP0反思8若已知分式递推公式 （p,q，h,k为常数），如何求通项 ；中国论文网a@.z6_,h
学生合作探究可自行完成等式的变形， ，即
2BAD!K{Cw?0 ，
)t:hgD6^~z;F0先求待定系数g,u,s,t，再构造等比数列求解，
7g2k&\\q s1ik0 即转化为 为等比数列求解.
!K l7J|QtE0课本p57  给出填空 ，中国论文网#c8Y"g9\7xft
反思9若已知 等量关系，如何求通项 .
Z#z'a@/JD,[7~-e0尝试当 ○1时, 可得 ○2,○1-○2得 ,即 故,  ,由等比数列概念,可求得通项,但要注意 时的情况不含在上述关系式中,须单独讨论.
P@6b C8j M.T3U9x0最后通过练习来深化、理解和检验理论的学习.中国论文网tV,uYB!x!l
1、（2009年陕西卷）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
zk Hr+N#e_1V&Ue0点拨:属于反思6的范畴.由已知 ，先求待定系数k,s, ,得 ，从而得到等比数列 ，再转化为反思3解决；或等比数列 ，再转化为反思1解决.

h4g3lS4u%{0答案：
?f'i g{k02、（2011年广东卷）设b>0,数列 满足 ， ,求数列 的通项公式.中国论文网 Iz VXWIq9W
点拨:属于反思7的范畴.由已知 ，变形得到 ，两边同除以 ，得 ，令 ，可得 ，当b=2时，转化为等差数列；当 时，这样可再转化为反思3解决.
:g/U"\wgZ_$W6y0答案：
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\;d03、（2008年四川卷）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式.
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cB0点拨:属于反思9的范畴.由已知 ○1，得中国论文网)pv$q L4?5_uG
 ○2，由○2-○1， ，这样可再转化为反思4解决，注意对b的讨论.
6rr[1r-[V s u0答案：
?6Q;Fj|0受之以鱼不如授之以渔，将现成的知识教给学生，不如教给他们获取知识的方法，反思能力的培养将帮助学生变过去被动学习为主动学习的学习方式，也是学生能长效和高效学习的有力保证。

dc)F5KQg0参考文献：
9X+zVF5yJ4Z_Z0[1]秦霞.浅谈由数列递推关系式求通项公式[J].数学教学通讯(教师版).中国论文网sfyW8cQI