利用导数证明不等式时怎样构造函数
2013年11月28日 09:45 作者:朱东海
利用导数证明不等式时怎样构造函数
朱东海
（蒙自市蒙自一中新校区，云南 红河 661100）
摘 要：近几年的高考中，利用导数证明不等式的试题屡屡出现，而此类问题的解决，关键是构造函数，才可利用导数来加以证明，现将构造函数的方法分述如下。
关键词：导数；不等式；函数一、利用不等式两边之差构造函数
对于不等式两边的函数比较简单时，可直接做差构造函数。
1.（2007年山东高考理数22题第3小题）
证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
证明：令 ，
则 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
而 ．
时，恒有 ，即 恒成立．
因此当 时，有 ．
对任意正整数 取 ，则有 ．
所以结论成立．
二、变形（代换、比商等）后再作差构造函数
若不等式可以进行等价变换，则变形（代换、比商等）后再作差构造函数。
2.（2010全国高考卷2理数22题第1小题）
设函数 ，证明：当 时， ；
证明：当 时，
令 则 ，
当 时， 在区间 上是增函数；
当 时， 在区间 上是减函数；
因此当 时 取得最小值，而
当 时 也就是
故当 时， 成立。
三、利用不等式两边相同“结构”的特征构造辅助函数
若不等式两边有相同“结构”，则利用其“结构”的特征构造函数
1．若
分析：不等式两边都是 的结构，所以可以构造函数
证明：令 ，则有 ，
当 时， ，
因此 在区间 上是减函数，
而
即：
四、端点变量法构造函数
在某一个区间上证明不等式，若不等式涉及的变量就是区间的两个端点，则把其中的一个端点视为自变量来构造函数。（2004年高考全国卷2理科22题第2小题）已知函数g(x)＝xlnx．设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g( )＜(b－a)ln2．
证明：设F(x)= g(a)+g(x)-2g( ),
g(x)=xlnx, ,
则
当0<x<a时 因此F(x)在(0,a)内为减函数
当x>a时 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数
从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)
因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g( ).
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,
则
当x>0时, ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，
因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.
即g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2.
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