利用导数证明不等式时怎样构造函数

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利用导数证明不等式时怎样构造函数
^|2z&yD3p0朱东海中国论文网?h
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（蒙自市蒙自一中新校区，云南  红河  661100）  中国论文网o`@.l)w7I J
摘  要：近几年的高考中，利用导数证明不等式的试题屡屡出现，而此类问题的解决，关键是构造函数，才可利用导数来加以证明，现将构造函数的方法分述如下。中国论文网]6yhRc,LxA(bX$L
关键词：导数；不等式；函数中国论文网/cH2C5Mc%C

XeE0pJH F7Va0一、利用不等式两边之差构造函数中国论文网:[(b/C!O
aK7a!C og
对于不等式两边的函数比较简单时，可直接做差构造函数。
[ Q+{|IksJ01.（2007年山东高考理数22题第3小题）中国论文网5BNH(d+M7Q j'R!@6m
   证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
-r c/r1F,}0证明：令 ，
#PWr,]0z/J0则 ．
B2|i%Q [u U,v0 当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
-FEw-n5`$q8\9[0而 ．中国论文网 ZV1c!C8Ob/Py;e
 时，恒有 ，即 恒成立．中国论文网;O2K"T n z[!a
因此当 时，有 ．中国论文网 C%w&Aw:Zp;^s%^8W3B
对任意正整数 取 ，则有 ．中国论文网(h7mg@!]p7B
所以结论成立．中国论文网 y8IS.Hvw5kc
二、变形（代换、比商等）后再作差构造函数中国论文网{8[(e4Xd7Q
若不等式可以进行等价变换，则变形（代换、比商等）后再作差构造函数。
8l~"p,v-l+zJ02.（2010全国高考卷2理数22题第1小题）中国论文网Ti-^%i"YK
设函数 ，证明：当 时， ；中国论文网7O j-\Ps"N}L
证明：当 时， 中国论文网5Xi(MYo(C
令 则 ，
H$Pr2Nh:M6D0 当 时， 在区间 上是增函数；
+S$W8U|P:M6M0当 时， 在区间 上是减函数；
-KD1X3a|/W-q0因此当 时 取得最小值，而
0hE]|#Ei)U0当 时 也就是
3R3G#K'Y&fq0故当 时， 成立。
R&Cy2hoz~0三、利用不等式两边相同“结构”的特征构造辅助函数中国论文网Lp
| q Q.Y N
若不等式两边有相同“结构”，则利用其“结构”的特征构造函数中国论文网5c`
dg8W*B8f
1．若 
#W fx'SG9s v0分析：不等式两边都是 的结构，所以可以构造函数 中国论文网4PQT[Y!G
证明：令 ，则有 ，中国论文网t+kL}V;Sa
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当 时， ，
I.X"C:i8~ }F0因此 在区间 上是减函数，中国论文网Pzk:n4aV,[|
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而 中国论文网cU8t+sc
 
nW Pc5\m0即：
3^)E9i(S{qO0四、端点变量法构造函数
'Xf)O ao|.qh0L0在某一个区间上证明不等式，若不等式涉及的变量就是区间的两个端点，则把其中的一个端点视为自变量来构造函数。

Fah9P-Xfje/m0（2004年高考全国卷2理科22题第2小题）已知函数g(x)＝xlnx．设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g( )＜(b－a)ln2．
CI8o kcI7s&^o B.] E0证明：设F(x)= g(a)+g(x)-2g( ),中国论文网^)AmdI8`W2Lu
  g(x)=xlnx, ,
k\euE5w0则 中国论文网.s4Ah9^/]Z
当0<x<a时 因此F(x)在(0,a)内为减函数
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Qn,[#bd9y0当x>a时 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数 中国论文网'OM},r'b)S ?
从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)
9JC/t Bkp0P0因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g( ).中国论文网e
N-Rc/T3]^!j)O
设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,
%nB H}\nw9v]4W0则
Y7e)z0|y3~?0当x>0时, ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，
$N9Fz2v2]0因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.中国论文网7X TRE!pU
即g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2.