2013年安徽卷文科压轴题研究

2013年安徽卷文科压轴题研究中国论文网o8qH:ML1e8j;ht {
董同兵1  戚有建2中国论文网$r UvY0o)`x
（1、高邮市第一中学，江苏  扬州 225600；2、扬州中学，江苏  扬州  225002）

摘  要：文章从2013年安徽卷文科21题第（2）问出发，先将结论推广为一般情形，再将结论类比到双曲线中进行研究。
3ml{%J0I!g!tT0关键词：唯一公共点；圆锥曲线；文科压轴题

F[3d WThR;Va0 中国论文网z!JB\2aQ

一、考题展示中国论文网)s}L[V8X.jj%q,^
（2013年安徽卷文科21题）已知椭圆 的焦距为4，且过点 ，
'?[ u8NO(X'Z)U k{0（1）求椭圆 的方程；
rvTw8Z0（2）设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆 一定有唯一的公共点？并说明理由.中国论文网!iM$C,k)h}SW
解析（1）由点 在椭圆上得  ①，
Rq8O1E'X0又  ②，  ③，联列①②③解得 ，
d8n;H&aC0u1^9q_0所以椭圆 的方程为 .中国论文网mBG@(|(k@
（2）由题意得 ，设 ，则 ， ，中国论文网:J'tb$E!?+E T'D
由 得 ，即 ，即 ，故 ，中国论文网Nx N\6xkZ
故直线 的斜率 ，
5U2^:xn G e0又由点 在椭圆 上得  ④，
O3_'xk\+p@+@&n{0从而 ，中国论文网Tn7M APO~
故直线 的方程为  ⑤，
&as2G Aoa0将⑤代入椭圆 方程得 ，
Nk.]BZ#n:u0再将④代入上式，化简得 ，解得 ，
G"f6xfr_|kU!f]F0所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网uj!cEt.Y%qpl#A
点评 本题是2013年安徽卷文科最后一题，是压轴题，考查的是椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线和椭圆的位置关系等基本知识，考查待定系数法、坐标法等基本方法，考查数形结合、函数方程、转化化归等基本数学思想，同时考查运算能力、逻辑推理能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力. 第（1）问学生很容易上手，用待定系数法来处理，第（2）问实际上是研究直线和椭圆的位置关系，可以用坐标法来处理，看起来很平常，实际上却丰富多彩，有一定难度和区分度，也有很大的研究空间，我们重点研究第（2）问.中国论文网G1@A(OGY"i
二、一般化研究
Y\J2UN+D2X8b~_0如图2，设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网;p,T6jl3IJ*h*z J
证明 由题意得 ，设 ，中国论文网}YzB~S`X
则 ， ，中国论文网5[aM#P/f6D2U*L-x
由 得 ，即 ，
q%vNR2J%V9g0即 ，故 ，中国论文网v v!c
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故直线 的斜率 ，
(zd9mY2^x0又由点 在椭圆 上得  ⑦，中国论文网j*gc)@9vs$m1J
从而  ⑥，中国论文网d o(e8Z Nz6gk@;R
故直线 的方程为  ⑧，
5l.Cz_hU+a0将⑧代入椭圆 方程化简得 ，中国论文网-U
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再将⑦代入上式，化简得 ，解得 ，
Rd~r)V+b^5F,Y9^0所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网6c}vd?n-_
说明 得到直线 的斜率（即⑥）后也可以这样来处理：又因为椭圆 在 处的切线方程 ，故切线斜率为 ，所以直线 即为椭圆 在 处的切线，所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网uV7As/tx^
三、类比研究中国论文网z~rtqC
如图3，设 为双曲线 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与双曲线 一定有唯一的公共点.中国论文网7SE;n3[-x/Ue#[r
证明过程略.

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