2013年安徽卷文科压轴题研究

2013年安徽卷文科压轴题研究中国论文网bl-_:jS+c,s"w!_k9D
董同兵1  戚有建2中国论文网1^ S8BH0f:xb/vW
（1、高邮市第一中学，江苏  扬州 225600；2、扬州中学，江苏  扬州  225002）中国论文网je#A:h-jKi7KJ

摘  要：文章从2013年安徽卷文科21题第（2）问出发，先将结论推广为一般情形，再将结论类比到双曲线中进行研究。中国论文网(~f(esT1rC+i
关键词：唯一公共点；圆锥曲线；文科压轴题中国论文网%LlG$o,Uz$^|*C;r

} AyL%P{.F&O0一、考题展示
E-m(r.c"G5i0（2013年安徽卷文科21题）已知椭圆 的焦距为4，且过点 ，
SJY?r9R0（1）求椭圆 的方程；中国论文网qz~7L6`)F9ke4Q tG
（2）设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆 一定有唯一的公共点？并说明理由.中国论文网5o%yUN;ECf
解析（1）由点 在椭圆上得  ①，中国论文网j.U8gC _$caaJ2o
又  ②，  ③，联列①②③解得 ，中国论文网 }|rn5P
所以椭圆 的方程为 .中国论文网V&bVIq#? XB/V(h
（2）由题意得 ，设 ，则 ， ，中国论文网@a3r"_5V!i.h&l!U
由 得 ，即 ，即 ，故 ，中国论文网/@/y3T3M(}
故直线 的斜率 ，
yD;W/g Bo\(m0又由点 在椭圆 上得  ④，
R:a \p3a/[0从而 ，
_?&OdvNB!~0故直线 的方程为  ⑤，中国论文网;b+Y;|3RG.xT
将⑤代入椭圆 方程得 ，中国论文网c.eS X.]%i9I
再将④代入上式，化简得 ，解得 ，

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D2F;`M0所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网'R MJ([,q&\
点评 本题是2013年安徽卷文科最后一题，是压轴题，考查的是椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线和椭圆的位置关系等基本知识，考查待定系数法、坐标法等基本方法，考查数形结合、函数方程、转化化归等基本数学思想，同时考查运算能力、逻辑推理能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力. 第（1）问学生很容易上手，用待定系数法来处理，第（2）问实际上是研究直线和椭圆的位置关系，可以用坐标法来处理，看起来很平常，实际上却丰富多彩，有一定难度和区分度，也有很大的研究空间，我们重点研究第（2）问.
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fS;A0二、一般化研究
2RF.B1P$t9{O0如图2，设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网s;q-x:ILCT
证明 由题意得 ，设 ，
F7DU'a6ls?0则 ， ，
p!C*r:xEI0由 得 ，即 ，中国论文网n}7KQYDVK
即 ，故 ，中国论文网@r]B
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故直线 的斜率 ，
g8}4u:z-G5U I'H0又由点 在椭圆 上得  ⑦，中国论文网!S._Zzla B,[
从而  ⑥，中国论文网rhlo7D
故直线 的方程为  ⑧，中国论文网/v,^J%NV
将⑧代入椭圆 方程化简得 ，中国论文网{C!c!F7mB-~w
再将⑦代入上式，化简得 ，解得 ，中国论文网2qSbhC,fn
所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网3ts4iu2nxNf)L
说明 得到直线 的斜率（即⑥）后也可以这样来处理：又因为椭圆 在 处的切线方程 ，故切线斜率为 ，所以直线 即为椭圆 在 处的切线，所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.中国论文网Ue{!pE5} _4^
三、类比研究中国论文网2To*S0}G6aD
如图3，设 为双曲线 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与双曲线 一定有唯一的公共点.
dg6gB'Z |Se0证明过程略.

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