一道高考题的五种解法

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一道高考题的五种解法
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（首都师范大学数学科学学院，北京  100048）中国论文网o`@.l)w7I J

摘  要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。中国论文网/cH2C5Mc%C
关键词：三角函数；一题多解；高考

题目：（2012年全国大纲卷•理7）已知 为第二象限角，且 ，则 （   ）
[ Q+{|IksJ0（A）      （B）       （C）     （D）  中国论文网5BNH(d+M7Q j'R!@6m
分析一：利用三角函数基本公式 ，联立方程组来求解得 的值，进而求得 的值.
-r c/r1F,}0解法一： （1）， （2），联立（1）式与（2）式消去 得： ，
#PWr,]0z/J0求得 或  .
B2|i%Q [u U,v0又由题设 为第二象限角，所以 ，即  ，代入（2）式得 ，由 得 ，选A.
-FEw-n5`$q8\9[0点评：该方法是学生最容易想到的，由于涉及解一元二次方程，因此计算量较大.中国论文网 ZV1c!C8Ob/Py;e
分析二：在解法一中求得 的值之后，无需在求 ，直接利用 来求 的值.中国论文网;O2K"T n z[!a
解法二： 由解法一求得 ，由 得  ，选A.中国论文网 C%w&Aw:Zp;^s%^8W3B
点评：在求解 的值时，若已知 的值，直接利用 来求；若已知 的值时，直接利用 来求解.中国论文网(h7mg@!]p7B
分析三：根据 先求得 的值，进而求得 的值.中国论文网 y8IS.Hvw5kc
解法三：因为  ，将其两边完全平方得: ，解得: ，利用 得 ，由题设 ，则 ，即 位于第三或第四象限，这样 的符号不唯一，因此这种方法不能确定 的符号.中国论文网{8[(e4Xd7Q
下面从另一个角度来确定 的符号：根据二倍角公式 ，因为 为第二象限角，所以 ，从而 ，另外 ，因此 ，从而 ，选A.
8l~"p,v-l+zJ0点评：该法是五中方法中计算量最小的一种方法，巧妙之处在于将 因式分解为两个符号容易判断的因式.平时教学中发现有一部分学生虽然能想到此法，费尽周折求出了 ，因为 位于第二象限，所以 ，因此求得 ，虽然答案选对，但是学生犯了一个错误，题目给的是 位于第二象限，并非 位于第二象限.中国论文网Ti-^%i"YK
分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断 的符号取决于 与 的大小. 中国论文网7O j-\Ps"N}L
解法四：同解法三实质一样，求得 ，下面来判断 的符号，中国论文网5Xi(MYo(C
因为 为第二象限角，所以 ，且 ，从而 ，因此 ，从而 ，选A.
H$Pr2Nh:M6D0分析五：由已知 的值，利用恒等式去求解 的值，进而求得 的值.
+S$W8U|P:M6M0解法五：由于题目已知 ,为避免求 的值，直接利用恒等式 得 ，
-KD1X3a|/W-q0又由解法三 ，因此 ，从而  ,选A.

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