曲线的拟合

曲线的拟合中国论文网9DW/O$n#la8Y&Q6^
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
*z`Ie g7n3[`0【文章摘要】
C!iV!l.H/L)]$L O"F%c0数据拟合在实际中应用非常广中国论文网G
jO:~4b4S*I)[
泛，这里对曲线拟合做简单的介绍，中国论文网-@v8_0}f%l3^3coYO
关于它的定义，及分类，和相应需要中国论文网!\v6GJB;DH
运用哪些软件，以及在做拟合钱需中国论文网pL.v,N G5FVS
要做的线性回归做以简单的介绍。
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ez^z0【关键词】中国论文网+bz0U)v0X[9bl
拟
i*ouivh W0合 ；matlab ；excel ；origin ；spss中国论文网*GS2D"E.wE-_
ASA中国论文网w|v$G%D$B0X
首先介绍拟合的定义 ：曲线拟合，俗
AK6T!e M P p0称拉曲线，它是一种把现有的数据透过数
,lg.dP!yI"BH0学的方法而进行代入一条函数式的表示
'y!B/xx*y&b0方式。科学和工程问题大都可以通过例如
N_U1E3?\0采样、实验等方法获得若干组离散数据，中国论文网8AUBa,Z'y ?.j
根据这样一些数据，我们大都希望得到一
@HH/z&~3ER7o%w0个连续函数或者更加比较密集的离散方

GWQXzI(}e(Y0程与已知的互数据相吻合，这个过程就叫
W
M1y6\|9b E0做拟合。拟合的用途是非常广泛的。在这中国论文网_{kw8M,rd
里对于拟合做以简单的介绍。
2]a0x U Ps1z'K#C'g0数据拟合在这里是根据函数其类型
(@(u!@
OAIDAM0来分类的，当然，拟合的依据仍然是数据中国论文网
?3gb^\m
本身。也就是说，需要数据符合什么样类中国论文网Y#W
A aD
型的函数，才能用什么样的类型的函数进
w `VNuCN-F0行拟合。一般而言，根据数据点的分布形
2^XM5F/\c!M0状，大体可以将数据拟合分为两类 ：一类中国论文网i{KDw/|a9F"s
是线形拟合，也就是说数据是按照 y = ax
"L1U(L.}
ns!Lq0+ b 呈现线形关系的，拟合得到结果也是
5rhOpk]E2p;w7}0一条直线。这里还包括多元函数的线性拟
'q\ {TZ)qF4\0合。另一类是非线性拟合，这里指的是数
`(if
\Dqp0据点的分布不是直线，而是曲线，包括抛中国论文网Z0m.eQ-w*j-H
物线形，双曲线形，指数形，对数形，三角
\c Lp$Z
l~(ZPTO0函数形，正态分布，泊松分布，玻尔兹曼中国论文网 h1} J0GRE`$_
分布等等。中国论文网.FK:tjjUXg
拟合还可以根据变量的数量分类，这中国论文网!i9PE"k-NZ
里的单变量是指拟合函数中的自变量只
+RK+A R7M9D%a0有一个，比如 y = ax + b， y = A*exp(x) +
(L^*_#Up9uR/lZ'Pd0sin(Bx)，等等中国论文网XOj'qD6y\ v}9C.Q
而对于相对应的多变量就是指含有
Qw"P,E+V0Z-r0多个自变量。中国论文网j/Sc\d\9F(~
这里我们介绍一下简单的拟合常用
n TM7} _lx0的函数中国论文网kA[5x,OY9GdO
指数函数的标准式形式为 Y=a
(U[7C%e v0(1) 对式（1）两边取对数，得 lnY=lna+bX中国论文网!E5WOD!zd`@
(2)
p8R#s0mqn7F E0b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；
3U%su7B-RVH7z:A0b<0 时，Y 是随 X 增大而减少的。当用中国论文网}$f6x&I#[7K
lnY 与 X 绘制的散点图像呈直线的趋势
h:yXr'n7j0?0曲线的拟合
d+q2nq fI
sTi?,n0付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
3Tg#j&P3v1F6o6\p\2k0时，可以考虑采用指数函数用来描述 Y中国论文网:a'RV:P d|
与 X 间的一个非线性关系，截距和斜率中国论文网3fM Y#W Ik6S r5C
X
分别为 lna 和 b。更一般化的指数函数
F?$C6g%T6P0Y=aebX+k (3) 式中 k 为一个常量，往往是中国论文网6x.XE"D-[2W'mk4r,m J
未知的 , 应用时可一试用不同的值。中国论文网*?'Q@Z0l"uT(P_!E
对数函数的标准式形式为 Y=a+blnX中国论文网6yEy"Ri#}O
(X>0) (4)b>0 时，Y 随 X 的增大而增大，
5Q:fm9@*Lnx Z&f6Hzt0变化是先快后慢 ；b<0 时，Y 随 X 的增中国论文网4vw9B,]6v7F
大而减少，变化是先快后慢，当以 Y 和
:e7U"_7i;O[:f0lnX 绘制的散点图像是呈直线趋势时，可
N YW~r6g5m-? \.s0以考虑采用对数函数来描述 Y 与 X 之间
T/X3kA5_;w tt0的一个非线性关系，式中的 b 和 a 分别为
-t?'zQ"P/}u2xT[0斜率和截距。更一般的对数函数关系式为中国论文网3H'SB'`/`4F/JU+s
Y=a+bln(X+k) (5) 式中 k 为一常量，往往中国论文网+F`2O$|"UW?}Gc
是未知的。

A+T.i!KQI/j0(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)中国论文网2Rst&a}3D[
Y=a+blnX(d)Y=a-blnX
\0{eN2O8Lw0幂函数的标准式形式为
{7y ^H/jX)b;Eu0Y=aXb(a>0,X>0) (6) 曲线拟合式中
\0|K1d-TRxXW0b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；b<0 时，
eK)P!Tf y,Ry0Y 是随 X 增大而减少的。对式（6）两边取
O"l7Q"jm0对数，得到中国论文网f k| {$X
lnY=lna+blnX(7) 所 以，当 以 lnY 和中国论文网-M,ELXaC
F3[a2}
lnX 绘制的散点图箱是呈直线的趋势时，
%eo3UP#|['c"F0可以考虑采用幂函数来描述 Y 与 X 之间中国论文网8c L!TEsW?
的非线性的关系，截距和斜率分别为 lna中国论文网8Ry&t2R3bY
和 b。比较一般的幂函数为 Y=aXb+k (8)中国论文网'a*HFa%D)qH_
曲线拟合的工具有 excel、matlab、中国论文网 H)\0Py3o%N}-@b
origin、spss 软件。它们都可以用来进行中国论文网duxB6OXy+^
数据的拟合。中国论文网@%C|~8I5im J
Origin 是由 OriginLab 公司开发的一
]2Z S{"D0个功能不同寻常的科学绘图、数据分析中国论文网&|:J*y6@+r;Z
软件，支持在 Microsoft Windows 下运行。
9Bt+UFu6a[8Ug]k0不足不能进行数据运算。Origin 中的曲中国论文网0{s/Iz6N1`#B"e
线拟合这里是采用的是基于 Levernberg-
-R0vdPBk0Marquardt 算法非线性最小二乘法的拟中国论文网;E.xX;`NA
合。 Origin 具有强大的数据的导入功能，中国论文网"].WFy/jRI
支持多种格式的数据，其中包括 ASCII,
l5twRmE$Gt0Excel, NI TDM, DIADem, NetCDF, SPC，中国论文网#wF:G
E)T0Uv
等等。Origin 优点图像处理强大，数据拟
%DMFt*T5e6}$gc_0合操作简单，不足不能进行数据运算。中国论文网Wy@Aw O5{
而 SPSS 是统计产品与服务解决方中国论文网$O4n I%Z(\ Ne!]j
案的简称，为 IBM 公司推出的一系列用中国论文网f{h6A.Ao
于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析
NS"P-H7A.k!r7m)~5T0和决策支持任务的软件产品及相关服务
,N6Ag!lKES3g0的总称，有 Windows 和 Mac OS X 等版本。中国论文网*j?
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SPSS 可以做数据管理统计建模，回归和
&X8]]i+|A-v0拟合。中国论文网!{WZx;v$O
MATLAB 是一种用于算法开发、数中国论文网w3E:x J K6B E3j
据可视化、数据分析以及数值计算的高级
U.U{;Is&Nr/t0技术计算语言和交互式环境。MATLAB中国论文网w:w
B]e1Y0H(g|d/O
可以做一元和多元线性拟合，一元多远非中国论文网wyM#rcy
线性拟合。优点势图像处理强大数据拟
?;daN~!Pz0合操作简单。ETLAB 优势是处理矩阵速
.OOjBx$h?5zd0度快，编写程序简单方便，但是运算不如中国论文网J a6j*s:lLj*e g3j
origin 和 excel。
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F6K&o'|0excel 大家都比较了解，优点做数据中国论文网 I(b[-g:}8e
运算方便，操作简单，不足图像处理差。中国论文网b.y{/N8\:F
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可以做多元和一元，线性和非线性函数拟
9A;d:~lPFNVv0合。
3H5Jw F SM1E0SAS 可进行各种不同的模型或不同
A,I@Op[pBk*R0的特点数据回归分析，如正交回归 / 面回中国论文网8]H CXb7mFq
归、响应面回归、logistic 回归、非线性回
d:_5BR4k/tA'Sl0归等，且具有多种模型选择的方法。在方
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gb2^+vc1{yJ-{} }0差分析方面， SAS 为多种试验设计了模中国论文网Uv%S}2~lH/~.r
型提供方差分析得到工具。而且，它还有中国论文网D-nh'Ly~:R
处理一般线性模型和广义线性模型的专中国论文网P3r-t.h t$F
用过程。在多变量统计方面， SAS 为主的中国论文网9X%xla2T/U
Z-L
成分分析、典型相关分析、因子分析和判
9JRL/PU/[,?!r9R0别分析提供了许多专用过程。但是如何应中国论文网3@Tu!RE |lW
用这些软件进行拟合由于篇幅有限这里中国论文网p"o L,m/@,m$tE
不做说明。
\p WI9F_ |"Gkv?v N0其实在做拟合之前，往往首先要做的中国论文网B-Y0hi_vF
是回归分析，回归分析是一种统计学上分中国论文网K
K-SUW;q
析数据的方法，目的在于了解两个或多个中国论文网'~MaP y3Y%s VIQ
变量间是否相关、相关方向与强度，并建
z'[4q1SR9ZH^:B_0立数学模型以便观察特定变量来预测研
x*}JZ8Q x)s0究者感兴趣的变量。 回归分析是建立因中国论文网 W
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变量与自变量之间关系的模型。简单线性中国论文网.Z3P1CQN!V1w
回归使用一个自变量，复回归使用超过一中国论文网9lx;DQM^
个自变量。在了解了数据与变量之间的关
!L}(Ae U0`\$C0系后，才能进行数据函数的一个估计，看
|
Ng.h#P/`A1n;S7x0看重要影响数据的变量是什么。所以所做中国论文网]*r ~_)x&t E/\
的顺序是先做线性回归，在了解了相关的中国论文网5D.^ Y}0m8L
函数最相关的变量后，在选择函数进行拟中国论文网E1a+qI
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合工作，在 spss 中还有曲线的估计，可以中国论文网!Q%hVG}%^
选几个函数进行拟合，根据拟合的结果看
;Ajn"b%d)q0F 值和 R 值来确定哪种函数拟合的程度
3}e'Ta a dis8zY,`0比较好。
5UD,k@
D0在拟合之后还要对拟合做出评价，就
s~*U:@-I A4tD0是利用残差。什么是残差呢？残差是指观
n/K bW
@Dgn7B/SZ0测值与预测值（拟合值）之间的差，即是
a$Z:q.KY/\"C0实际观察值与回归估计值的差。残差图的
&|d0sf.R i_0分布趋势可以帮助我们判明所拟合的线
.d M ky-IGwv~0性模型是否满足相关假设。如残差是否近中国论文网*oezXs.N
似正态分布，是否方差齐次，变量间是否
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DBAYIF0p0还有其它非线性关系以及是否还有重要中国论文网vQ'y ].ie/gB,@O6f
自变量还未进入模型等。. 当判明有某些中国论文网J/M)f7lX2[+m3g
假设条件欠缺时， 进一步的问题就是要
6Fe7bnZF#a%CA0加以校正或者补救。以上就是拟合的大致中国论文网2c9o5`B3N)U:F
的过程。拟合也是数学建模的重要工具
&v-L^ i&h,L9^M0【作者简介】
(Ue#t _:RB@0付伟（1975）女，汉族，辽宁省沈阳市，中国论文网/|0X,p.mg"B*oF
沈阳工学院、讲师、硕士、应用数学