曲线的拟合

曲线的拟合中国论文网*@f1d5GY,{S_
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
"|7ML6u3_0【文章摘要】
Mk-E9?%b8t2_ I#j0数据拟合在实际中应用非常广中国论文网?:uatC$U$p*? ?|
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泛，这里对曲线拟合做简单的介绍，
dOW3wn1T)?0关于它的定义，及分类，和相应需要
t,sRQhgE0运用哪些软件，以及在做拟合钱需中国论文网G5i&o3p6o*X
要做的线性回归做以简单的介绍。
6a{\%~vD Z5O?mD0【关键词】
@1s*[;^Y*JX{0拟中国论文网6T o8v U'ecQ8w
合 ；matlab ；excel ；origin ；spss
{5kd0b"~q j@4}0ASA中国论文网V~a%x2[;Jl.\
首先介绍拟合的定义 ：曲线拟合，俗
T5z4^&s3GXH0称拉曲线，它是一种把现有的数据透过数中国论文网)UOHY%\[O4d
学的方法而进行代入一条函数式的表示中国论文网+dS,b+hr%M%?z
方式。科学和工程问题大都可以通过例如
4H&q|[(WwJ"L+Uib,Z0采样、实验等方法获得若干组离散数据，中国论文网"^q2Z6e8c+Iz
根据这样一些数据，我们大都希望得到一中国论文网y&y.D Lwp
个连续函数或者更加比较密集的离散方
{X Sm8kF0程与已知的互数据相吻合，这个过程就叫
k6[j[P\'s0做拟合。拟合的用途是非常广泛的。在这中国论文网wK0Z6wJ n#gzU
里对于拟合做以简单的介绍。
~8mt1Bk i/m/G|y0数据拟合在这里是根据函数其类型中国论文网*W6nG0^.Wu hqxZ
来分类的，当然，拟合的依据仍然是数据
n~RwyI0本身。也就是说，需要数据符合什么样类
+|q7t3nc)v)jPU0型的函数，才能用什么样的类型的函数进中国论文网0q+r%Rw"?L3HS
行拟合。一般而言，根据数据点的分布形中国论文网&Lu^ LH5eY&~
状，大体可以将数据拟合分为两类 ：一类中国论文网|ALCY(M(pX
是线形拟合，也就是说数据是按照 y = ax
8} pF L{ Z0@1g9m0+ b 呈现线形关系的，拟合得到结果也是中国论文网 h2w:hs6x6Gp
一条直线。这里还包括多元函数的线性拟
p0Li8O"I UpT}&B[0合。另一类是非线性拟合，这里指的是数
#X3?4}X&EF5z3j%G5P0据点的分布不是直线，而是曲线，包括抛中国论文网
Yy9G k(B]n
物线形，双曲线形，指数形，对数形，三角
1iN jl6JujN0函数形，正态分布，泊松分布，玻尔兹曼中国论文网lk3B!D(`M8mB2k x
分布等等。
M,ff3yv3]0拟合还可以根据变量的数量分类，这中国论文网 k(`E7p"hp[%o
里的单变量是指拟合函数中的自变量只
L-]W n+puai"@0有一个，比如 y = ax + b， y = A*exp(x) +中国论文网%['Rw%{X'}N){r(F;u
sin(Bx)，等等中国论文网"Sw0gQWAEOF
而对于相对应的多变量就是指含有
'h o!_(YJx0多个自变量。中国论文网S!rg+aNw
这里我们介绍一下简单的拟合常用
6Do!zH|UC+TN"bR0的函数
6zm9t qTG0va0指数函数的标准式形式为 Y=a中国论文网8XE4gD(Mr6I6i^*l%t
(1) 对式（1）两边取对数，得 lnY=lna+bX中国论文网HBI L)T[8w5Ht-u"j
(2)中国论文网?LE(Mw ]
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；
\)V*N7]"qyi7S(m0b<0 时，Y 是随 X 增大而减少的。当用中国论文网8e)h%YgCWD c
lnY 与 X 绘制的散点图像呈直线的趋势
/Lyb+|)o'z7Yq0曲线的拟合
+h+\Ru
H,A0付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
KL;[w1do2qk{"C0时，可以考虑采用指数函数用来描述 Y中国论文网H%wT
E Q!j
与 X 间的一个非线性关系，截距和斜率中国论文网W ^
w"@_.a2g}a
分别为 lna 和 b。更一般化的指数函数中国论文网%p4NL2H5a3n
Y=aebX+k (3) 式中 k 为一个常量，往往是中国论文网(F7L4s4B"D4[M
未知的 , 应用时可一试用不同的值。
:@:kv7f!b9q,o `0对数函数的标准式形式为 Y=a+blnX中国论文网/Z)x Z o)l#Fc
(X>0) (4)b>0 时，Y 随 X 的增大而增大，
#Y(Ht3dIbC X0变化是先快后慢 ；b<0 时，Y 随 X 的增
@T$i&T"b;egB.w0大而减少，变化是先快后慢，当以 Y 和
BkM$aIl"OD%u:D0lnX 绘制的散点图像是呈直线趋势时，可
]-{k6ON`#P0以考虑采用对数函数来描述 Y 与 X 之间中国论文网O7GFSxm
的一个非线性关系，式中的 b 和 a 分别为中国论文网yBimM3d9o/[
斜率和截距。更一般的对数函数关系式为中国论文网xmC@.x!^Jf
Y=a+bln(X+k) (5) 式中 k 为一常量，往往
$D6K^ah|#d%{_,K0是未知的。
`H^)J$z9\O0(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)
``+NE5OeS0Y=a+blnX(d)Y=a-blnX
hY'u??s-j0幂函数的标准式形式为
c,@U/Rn-af3p-q;}0Y=aXb(a>0,X>0) (6) 曲线拟合式中中国论文网[UF(`W q^y
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；b<0 时，中国论文网N
AH c0dvoa
Y 是随 X 增大而减少的。对式（6）两边取中国论文网4A)EVg&i2K
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对数，得到中国论文网m3XAT Ejo0Q
lnY=lna+blnX(7) 所 以，当 以 lnY 和
+lK2CT5n3n!N"R|n0lnX 绘制的散点图箱是呈直线的趋势时，
!o{,}-fQD~;R0可以考虑采用幂函数来描述 Y 与 X 之间中国论文网]@/tL4A?#[4j
的非线性的关系，截距和斜率分别为 lna
#?K.yTR,Q8}_0和 b。比较一般的幂函数为 Y=aXb+k (8)中国论文网2cy?!Pv;uvG}
曲线拟合的工具有 excel、matlab、中国论文网8{-Q#U t5kL@
origin、spss 软件。它们都可以用来进行中国论文网,k6bj SyB"O*M&K M |
数据的拟合。
DiP%yiac~0Origin 是由 OriginLab 公司开发的一
jOn7mL3D5P0个功能不同寻常的科学绘图、数据分析中国论文网gw`+F4_1h b
软件，支持在 Microsoft Windows 下运行。中国论文网MH6QZ V5XP*Z
不足不能进行数据运算。Origin 中的曲
#P%M3b N@m0线拟合这里是采用的是基于 Levernberg-中国论文网uArE@U fNr([
Marquardt 算法非线性最小二乘法的拟
]N-`X#~ jc ^~0合。 Origin 具有强大的数据的导入功能，
}J A0o;J,C C0支持多种格式的数据，其中包括 ASCII,中国论文网']Q,\*D9N,x@(X:x
Excel, NI TDM, DIADem, NetCDF, SPC，
X`I@ pV5z8t.k7V0等等。Origin 优点图像处理强大，数据拟中国论文网Rg e"H5yPpI?)D
合操作简单，不足不能进行数据运算。
2x'FpE
N(LT#?0而 SPSS 是统计产品与服务解决方
4w:o!Z;oZ0案的简称，为 IBM 公司推出的一系列用中国论文网WyJ'|#i-DS*N
于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析
VGa6pS8E!cd"X0和决策支持任务的软件产品及相关服务
| wNe A(VE Z0的总称，有 Windows 和 Mac OS X 等版本。
Ns
tN)i0SPSS 可以做数据管理统计建模，回归和中国论文网@L9Wo&I;hX:@
拟合。
.W!e_:G}zb0MATLAB 是一种用于算法开发、数
;es_n R0据可视化、数据分析以及数值计算的高级中国论文网?6s1r5dd:? [ z+W
技术计算语言和交互式环境。MATLAB中国论文网 qG6O/nG8CbP@
可以做一元和多元线性拟合，一元多远非
^ W6Hj5r0线性拟合。优点势图像处理强大数据拟中国论文网{*e"IV!K(?/m?Y
合操作简单。ETLAB 优势是处理矩阵速
#i*hG@WT Gd0度快，编写程序简单方便，但是运算不如
H0B?c~0origin 和 excel。中国论文网v V3Fq&Um;b
excel 大家都比较了解，优点做数据中国论文网b L6^2cD5I-G4[
运算方便，操作简单，不足图像处理差。中国论文网CWTmXP|*x"r@?(S
可以做多元和一元，线性和非线性函数拟
HFmw/Q s(E0合。中国论文网QT l
Q!C5qCc{
SAS 可进行各种不同的模型或不同中国论文网-@s$d\~
的特点数据回归分析，如正交回归 / 面回
6k-h/ddK&a S!F0归、响应面回归、logistic 回归、非线性回中国论文网:f[;y P"@ph"V9JZ$j
归等，且具有多种模型选择的方法。在方中国论文网]WILR"d
差分析方面， SAS 为多种试验设计了模中国论文网aE)cD(W
型提供方差分析得到工具。而且，它还有
W|Aob6jK&Z N0处理一般线性模型和广义线性模型的专中国论文网5@6Z7Q5KM?
用过程。在多变量统计方面， SAS 为主的中国论文网1I R2fOk3PB
成分分析、典型相关分析、因子分析和判
+A:M(n)b^0别分析提供了许多专用过程。但是如何应
+yC,F{!JU2Xez0用这些软件进行拟合由于篇幅有限这里
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Vn0不做说明。
$N)b"i/C7~:mOHu0其实在做拟合之前，往往首先要做的中国论文网 zz:G hB4A*^[
是回归分析，回归分析是一种统计学上分中国论文网1V-^w'S{
析数据的方法，目的在于了解两个或多个
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} MEQ6V ZZX0变量间是否相关、相关方向与强度，并建
9Te:H1U,e{3U0立数学模型以便观察特定变量来预测研中国论文网F,r\k3B'KO
究者感兴趣的变量。 回归分析是建立因中国论文网G j'wI \V nC
变量与自变量之间关系的模型。简单线性中国论文网$rSRG4m8V@
回归使用一个自变量，复回归使用超过一中国论文网/Nwf/s%wW5w,?S
个自变量。在了解了数据与变量之间的关
6C(zGV*BMod0系后，才能进行数据函数的一个估计，看
wR0@%R
|GV0看重要影响数据的变量是什么。所以所做中国论文网|dC'MkNJ3a
的顺序是先做线性回归，在了解了相关的
1|N%d(eYC!Y6u~({0函数最相关的变量后，在选择函数进行拟
wRlfP'r0合工作，在 spss 中还有曲线的估计，可以中国论文网"Eg7uVp6h6wI!^
选几个函数进行拟合，根据拟合的结果看中国论文网#e`7}m2s9lN7D
F 值和 R 值来确定哪种函数拟合的程度
N*v p'T.x e3LU$r!Q0比较好。
Y0zqQf/I0YC0在拟合之后还要对拟合做出评价，就中国论文网H rvgC(?;V_6O
是利用残差。什么是残差呢？残差是指观中国论文网3d/~gQ#]Y R1JxQ
测值与预测值（拟合值）之间的差，即是
.O0m kb|l$dm~0实际观察值与回归估计值的差。残差图的
]m2_? s0分布趋势可以帮助我们判明所拟合的线
pz#F_cxb7g0性模型是否满足相关假设。如残差是否近中国论文网2xg-H:gS
似正态分布，是否方差齐次，变量间是否中国论文网E&B]Z1RY
还有其它非线性关系以及是否还有重要
b*e:lnr6K0自变量还未进入模型等。. 当判明有某些
%a+Fg
B`&a,?0假设条件欠缺时， 进一步的问题就是要
%Z5luI KhBV,S]0加以校正或者补救。以上就是拟合的大致中国论文网eN#N|/d-BQp
的过程。拟合也是数学建模的重要工具
j&L vs-?/x-M0【作者简介】中国论文网F
Pm$O/k Xj
付伟（1975）女，汉族，辽宁省沈阳市，中国论文网%a\i}J| V2l/N |
沈阳工学院、讲师、硕士、应用数学