原函数存在问题之探讨与应用

原函数存在问题之探讨与应用
7z]$?u(N0顾亚红
Y&C;fB1Gk4gb0（无锡机电高等职业技术学校，江苏  无锡  214028）中国论文网ly0r9RL)Z,i"h}1Fo$A
摘  要：本文给出了原函数存在定理的证明, 同时结合积分的相关性质给出了原函数存在定理的应用.中国论文网8tP5z.z(If"{7bX
关键词：原函数；导函数；存在性定理；应用中国论文网,x L(S%G$vYw&UU+}

一、知识点
_X1Gz&{7xDl0定义  若函数 在区间 可导,则  都存在（对应）唯一一个导数 .根据函数定义,  是区间 的函数,称为函数 在区间 的导函数.中国论文网#v(Ea+v
R;g
定义  设函数 在区间 有定义, 存在函数 .若 ,有 ,  则称 为 在区间 上的原函数,或简称 是 的原函数.中国论文网5b&QV.Pap
定理  设 是区间 上的可积函数, 对于 , 令 ,则
~@J0k!h2x0(1) 若 在 上可积, 则 在 上连续.中国论文网K6o5KZM-lO
(2) 若 在 上连续, 则 在 上可导, 且
OfK s.dkD0 .
3DWA'j E2V0(3) 设 在 上连续,  ,  是可导函数,且 ,  , 则
(oA\%fn0 .中国论文网vF{0a-y
定理  若 在闭区间 连续, 则在 上至少存在一点 , 使
T`$i+`g/k+U0 .
z-w+SS1~:Fh.^0定理  若 在 上不具介值性, 则 在 上一定不存在原函数.中国论文网c QW#O-E'V.R
定理  设函数 在区间 上有定义, 那么如果函数 在 上存在第一类间断点, 则 在区间 上不存在原函数.
/aM[qs3B'`0定理  设 在 上连续, 则中国论文网?)[
~8Dv_+ue.cv%a'v
 ,  中国论文网8xD2WYNR
在区间 上为 的一个原函数, 即 .中国论文网CW A+`6K$y5Ft

二、 定理证明
,\#St#L-V,gt0  上述定理在相应的文献中有详细的证明,我们利用新方法对定理4及定理5重新证明.
8Z.yy9Q4gr%WOY%m0(1) 定理4的证明.
hRUGv'T|)Q0在证明此定理前我们需先证明预备定理.
M sE3rIb}0预备定理 如果函数 在区间 上有导函数 , 则 在区间 上不存在第一类间断点.
1N$s o t0?Gj5Lh0    证明  由于第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点, 所以分以下两种情况讨论.
!MV[`L]'q@5b8n0(a)假设存在一点 是导函数 的可去间断点, 则 存在, 且
5}4`cixe`Y0 ,
v9a5E/E2q[0而 在点 的某一领域内连续且可导, 故 , 推出矛盾，即点 不可能是 的可去间断点.中国论文网"R6G/NMql1@
`
(b)假设在区间 上 有跳跃间断点, 则中国论文网!OB`3rjn^m
 ,中国论文网3A1G*^I!o;?9f(Y
又由于 是区间 上 的导函数, 由可导的必要条件有
$?SeAk(a'P$q8[0 ,  ,
uWUuk |0即
h&dPM,x2}"Y1K0 .
"T3cm#x6z0由此推出矛盾, 从而有点 不可能是导函数 的跳跃间断点. 故由上述证明,可知点 不能是 的第一类间断点. 中国论文网`o)Y-N2u[
亦即,  中的每一点或者是导函数 的连续点或者是第二类间断点.
H~*q/R5x"D/{0基于预备定理, 对于定理 , 可进行如下证明.中国论文网"ymYeecUt
证明  假设 在 上存在原函数 , 使得 , 由 在 上有定中国论文网)_)c0ARv,[|-PHC
义可知原函数 在 上可导, 由预备定理, 则 在 上没有第一类间断点, 这与已知条件矛盾, 故函数 在 上不存在原函数.中国论文网U C+r'I'R
(2)定理5的证明.中国论文网_8OLDv
   证明  对 ,  且 （正数）, 有
B*s6F V/wf4h0 ,中国论文网'?o5UH+v9{,uC
及中国论文网 g/XiD j
 ,
7w8c3TD6_t'I_&~0所以中国论文网C+^t/M5pH
  ,中国论文网Xh,b.iebk
故
4fb |3r)|k6B0 
YY
X?1E:]g0对每一个正数 , 因 在点 连续, 故存在正数 , 当 时, 有 , 从而有
+`+J9Mo$Z^D r0 ,
C*sO$Y#VJ0故中国论文网.\{TU\,?s
 
\c1_6N:w"c0注 此定理是用导数的分析定义（即 定义）证明的.
q)]'[-W&c@ w0三、实例中国论文网;wvu2J c `JZ1V
例1（Dirichlet）函数中国论文网#\@-mKV4W
 中国论文网h/n;P\4X?,m
显然, 在 内的任一点都是 的第二类间断点, 但 在任意闭区间 内不具介值性, 由定理1知,  在 内不存在原函数.
v&^xjT4?2v!E$D0例  设函数 , 证明不存在一个函数以 为其导函数.
"Ptw HjE5t L0s3on
S0证明  显然 是 的第一类间断点, 所以由定理2知,  在 上不存在原函数, 即不存在一个函数以 为其导函数.
6a?,n+F9qw0   评注 给出分段函数判断是否存在原函数, 通常先判断函数在区间上是否不具备介值性中国论文网
p9?f(bgT
或具有第一类间断点, 若符合则必定不存在原函数.
N!BX i1m ~3`0例  求函数 在 上的一个原函数.
\2OXx,j0   解 在 上, 由于 连续, 所以其原函数 必存在.
oJ:Bl[/A?S e0 ,中国论文网G["zbzs7Y^0WT
   当 且 为偶数时,
hj7D$sm|f0 ,
(Qn
}-b$Y}{8a!bNT0   当 且 为奇数时,
0nZh:h`J/@4BF"A0 .中国论文网x]:p4bu*s/o,H
s
   因为在 内,  处处成立, 所以 处处连续, 从几何意义上说, 在每个区间段 上的曲线段 必须与上一区间段上的曲线段连接无间. 为此只要适当选取 值, 使曲线上下平移, 就可使这两段曲线无间隙地连接起来. 故 在 上的一个原函数为
R,jFm)|+K0    ,中国论文网:Pom%yTP"f$]
其中每个 应适当地选取, 使得 .中国论文网 JiQ5K7FpcT(J

例4 设 是 上的连续函数, 且对任意的 和 , 积分值 与 无关, 证明: 存在常数 , 使得 , 其中 .
/iq/U9R-^-`u{0证明  由于 与 无关, 故对于 和 以及 , 则有中国论文网}']V1o x Zy j
 ,
%R#RC9]`5|cv3?0记
yIG\Ofi0 ， ,
sS GlC.]|0则
n]ASKa q[+?I0 ,中国论文网*|;i wDJq{it
所以  , 特别地， .
Fg,SN-?nInWJDo0令 , 我们得到 , 易验证 , ( ), 满足题设条件.中国论文网%g\*|:AG2zO
   评注 积分不等式证明常见的有微分法, 通常积分限含参变量 ,  , 可将积分上限 置换为 , 设辅助导函数 , 并证明 或 . 另一类是积分运算.  
] a'f#s h
}E0 例  设 在 上可微, 且当 时,  ,  . 证明中国论文网.T$df&C/n%^Lut,bJq
 .
*h2W{pj0分析 证式不含绝对值, 可用微分法证明.中国论文网 \ P^s7lZ[9qE
证明 设 ,  , 于是
V;NtQ$\5R7w0 .
QYx7zkx'n ]*q\]0由 ,  , 知当 时,  , 要证 , 只要证
~ }9N,c'y*k0|&Sv0  ,
lIFX$^6F0令 .
0N
h1I3k1xYq8C0由 , 知 单调增, 当 时有中国论文网_3_%I&Z#a9zR!v
 .中国论文网9R*nO T0n\pm-mg
综上讨论可知 , 知 单调增, 所以当 时, 有 ,
F1D,qT Tj&p0亦即
u%U#k Nd6b9H?0 .中国论文网:u#C2q7j S~$C`
此题也可用定理 证明.
w4rb^Q0证明  问题在于证明
Q$nl#V:y
e0  .                      (1)
`U7\
Gi!h0令
Vy*Ap$N$M8@;B0 ,  ,中国论文网f5z oR2~J.W+[*|:YA
则(1)左端有中国论文网3@j5m2D4LY
         
6nPl~;b%Wr0    中国论文网/}9r [#NDx$T7\KQB{
  .                                     
@ ]!b&nI _0从而有中国论文网 {4O3{"g~,x&l+z
 .中国论文网 RL'@#BL(\2pJ X

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