实数大小比较命题的证明

实数大小比较命题的证明

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○上海金融学院应用数学系 201209

ROn)p8~ d_5s0

陆天虹 中国论文网nOAic#k+Lpp\6j

摘要：本文在有关实数有理近似的基础上，对实数大小比较的一个命题进行了讨论，给出了容易理解的证明，同时给出了如何求解命题中 n 的方法。

9I.r yfy1vmU.n0

关键词：有理近似；不足近似；过剩近似；区间套定理中国论文网.tDZ|}5XZF

一、实数的有理近似

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数学分析课程讲授实数这一节内容时，在实数的无限小数表示的基础上，

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^:n{$c0

给出了有关实数的 n 位有理近似，定义如下（不妨设 x >0）： 中国论文网%r]@a9hg8Q+O X3i

x R ， x a0 .a1 an 中国论文网7]-S6ZR@jIuaLZ

定义实数的 n 位有理近似：

Y:z9b*}a9xx J2j-qq&u T?0

（1） n 位不足近似 : xn a0 .a1 …an 中国论文网lA4V1ay:d|

（2） n 位过剩近似 : xn

#ZF~1y#} I2VI/s0

该定义中，不足近似相当于截尾法，过剩近似相当于进位法。不难看出， 中国论文网8_f5r7KQ-@@

x 的不足近似Xn，当 n 增大时不减，即数列{Xn} 单调递增；

J YS:r$Zf(Daj0

x 的过剩近似 ，当 n 增大时不增，即数列单调递减。

;y9n1q/IL+x0

二、实数大小比较的一个命题中国论文网5r)lleN6] g

命题：设x a0 .a1 a2…与y b0 .b1b2…为两个实数，则

!]*LE+zN5@?.bM4mi0

x y 的等价条件是：存在非负整数n，使得

zC@mw;wr?0

Xn 中国论文网pDTnn'E

其中Xn 表示x 的n 位不足近似， 表示 y 的 n 位过剩近似 .y

b-u-I|)cKt}#yV7H0

[ 注 1]

]\{5sMe0

三、例题中国论文网 z u4m-fJ};q9V

设 x =2.123， y =2.122, x y 中国论文网p2WvkJ6g

无限小数表示为 x 2.12299 ， y 2.12199 … 中国论文网'v;F^$H`Z5j#Q_/s#[

于是，n 位不足近似和过剩近似分别如下中国论文网zr4Cg?%Rk

因此，我们得到了命题中的 n 至少为 4.

n}3p&NQ!{`0

四、命题的证明中国论文网3a$K7L!^v;KA-b

由该命题的充分条件，可得到

$yA\1~ gHV0

a0 b0 或非否整数l(l n ),使得 ak bk( k 0,1,2,…, l ) 而 al 1 bl 1 中国论文网9p7YBt[9JL ~p

按实数的大小定义，即得 x y .

-rm,~9O*?G}9OG5g0

或者由n， x xn y 直接得到。中国论文网S
}5g nr W\q
?a+i

该命题的必要性证明如下（不妨假设 x 0， y 0 ）：

W.G0?i:t5Ew6v$l'u0

证法 1

Gj\"h{,Ymql0

x y , a0 b0 或 k : ak 1 bk , ak bk , k 1,2,…; 中国论文网(@-RNI4?W0IG _

0 a i , bi 9, i 0,1,…， a i , bi Z（不妨设a 0 b0，

p4|,DmH$Z0

类似可证 a 0 b0 情形），于是中国论文网6t9qi9rE7y+M)V

x y a 0 .a1 …a k b0 .b1…bk 0.0…a k 1…0.0…bk 1 …

)\/J4JpWfy0

0.0 …1 0.0…ak 1 … 0.0…bk 1… 0.0…ak 1 … 中国论文网h^%G9[&{|f-rU*w

m(m k 1), am 0，如若不然，将 x a0 .a1…a k

5]7YB~)o0

表为 x a0 .a1 …( a k 1)99 … 中国论文网gR:[:j"S/o5Oy

证法 2

-@k+s0U5iD0

数列{Xn} 单调递增有上界，数列单调递减有下界 , 中国论文网8J.A9Ny-V(E;S

n : x n x. 类似可得 y. 中国论文网};oaz4B

因此，存在 n, 使得Xn .

k:j(V UH_|&A0

如若不然，则由 n， x n 中国论文网-z/X6heo-UI

取极限得到 x y，与 x y 矛盾.

|aQ$N&Ye0

五、命题中 n 的求解方法

}(ZEa4t8I-n
n0

该命题的证明可参见参考文献[1] 附录Ⅱ第八节，相关内容比较多，本文前述中我们给出了两种容易理解的证明方法。证法 1 中注意不能利用

hk7d8@Z-m4BCckj1C0

ak bk x - y 1 / 10 k 中国论文网Jw.? wz6sP V

同时证法 1 给了我们具体求解命题中 n 的一种方法： 中国论文网t:LRK!_dh"R*a,X

（1）比较 x 与 y 的无限小数表示，得到中国论文网2rG%I3_'|

k ： ak bk , ak 1 bk 1

d9Ge;wk_7c$P0

（2）确定 k 后，考察 x 的无限小数表示中a k 后首个非零数am 得到 m ( m k 1) 中国论文网B0e$F%B,mD

（3）取 n m （ m k 1） 即可。1 中国论文网:t"S!SM)yZ/M}l

附：当 n m 1 时，必有X n

+Z&W+v;K O0

当 n m 时需进行验证。如例题中 x 2.12299…， y 2.12199…，比较得到 k 3, m 4， n 5 ，事实上有x4 中国论文网
t9sxq/T%nJ2F

[ 注1] 命题的直观解释：因为xn 当n 增加时是递增的，即对 任何n，x n 1

`5[EP;V6tG:WU6Pm0

xn，而是递减的，即对任何n， . 于是是递增的，且y

"ab?%ix)I0

随着n 增大与 x y 越来越接近。若x y 0，则必定存在（需要证明）

@rY!L2S%_1q;R7tIQ*o!D0

某个正整数 n，使得Xn ，而且从这个 n 起不等式一直成立。中国论文网+y(MEl"`S!iQ

参考文献：

$a*tY BX0 [1] 华东师范大学数学系编. 数学分析（第三版）上册. 高等教育出版社，2001 年6