实数大小比较命题的证明

实数大小比较命题的证明

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○上海金融学院应用数学系 201209

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陆天虹 中国论文网$c:}'eZj `

摘要：本文在有关实数有理近似的基础上，对实数大小比较的一个命题进行了讨论，给出了容易理解的证明，同时给出了如何求解命题中 n 的方法。

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关键词：有理近似；不足近似；过剩近似；区间套定理

H$j*oaw0H"yX/C-p e%X0

一、实数的有理近似

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数学分析课程讲授实数这一节内容时，在实数的无限小数表示的基础上， 中国论文网5z CJ({y;pLj

给出了有关实数的 n 位有理近似，定义如下（不妨设 x >0）： 中国论文网e1^"S|`~%r

x R ， x a0 .a1 an 中国论文网:_&m
g0L]S C

定义实数的 n 位有理近似：

+{~B
{'h-qR-\5b0

（1） n 位不足近似 : xn a0 .a1 …an 中国论文网2Z(Lo!I]ic4Tc'q

（2） n 位过剩近似 : xn

X_k(c;GV0

该定义中，不足近似相当于截尾法，过剩近似相当于进位法。不难看出，

;sR @Vk@0

x 的不足近似Xn，当 n 增大时不减，即数列{Xn} 单调递增； 中国论文网'\#nf'i*ho

x 的过剩近似 ，当 n 增大时不增，即数列单调递减。中国论文网~/{;t5q6cYSV7na

二、实数大小比较的一个命题中国论文网&G*y7]c)H$w3X

命题：设x a0 .a1 a2…与y b0 .b1b2…为两个实数，则

Q1C ^zI1{jI0

x y 的等价条件是：存在非负整数n，使得中国论文网gO&~}7[1M

Xn

p0O9p,ir'uL0

其中Xn 表示x 的n 位不足近似， 表示 y 的 n 位过剩近似 .y中国论文网+M8M#S'UF$cI+sw

[ 注 1]

'eBb#UEV"Izdk0

三、例题中国论文网O~o1w^$j.G6T+c0o

设 x =2.123， y =2.122, x y 中国论文网aAk {0d@]D,Y4y0G

无限小数表示为 x 2.12299 ， y 2.12199 … 中国论文网,^a B.\n)D$g

于是，n 位不足近似和过剩近似分别如下中国论文网"mxU0@s M)L

因此，我们得到了命题中的 n 至少为 4. 中国论文网 @2L*M ^Q v

四、命题的证明中国论文网(mw&D^tG|b$HO

由该命题的充分条件，可得到中国论文网q$XX:~3p

a0 b0 或非否整数l(l n ),使得 ak bk( k 0,1,2,…, l ) 而 al 1 bl 1 中国论文网1UjI(D-["i

按实数的大小定义，即得 x y . 中国论文网7I8i1m6A4mh

或者由n， x xn y 直接得到。中国论文网f"{;D,E0]BiF*U

该命题的必要性证明如下（不妨假设 x 0， y 0 ）：

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证法 1

.bx$I@#`u K"Ki h0

x y , a0 b0 或 k : ak 1 bk , ak bk , k 1,2,…; 中国论文网/b[!tZtn.t

0 a i , bi 9, i 0,1,…， a i , bi Z（不妨设a 0 b0， 中国论文网rD"ou{o5n

类似可证 a 0 b0 情形），于是中国论文网;g-F0ZR0Y#\

x y a 0 .a1 …a k b0 .b1…bk 0.0…a k 1…0.0…bk 1 … 中国论文网*`*zou0{

0.0 …1 0.0…ak 1 … 0.0…bk 1… 0.0…ak 1 …

QPHLZX0

m(m k 1), am 0，如若不然，将 x a0 .a1…a k 中国论文网`0zhb+JIodYb

表为 x a0 .a1 …( a k 1)99 … 中国论文网Q2e&Q$r#m1s3ti

证法 2

2R#@l'T J/WW]x4W{0

数列{Xn} 单调递增有上界，数列单调递减有下界 ,

r5c ^*@g+pf0

n : x n x. 类似可得 y.

;`F-]$^b0

因此，存在 n, 使得Xn . 中国论文网9T"?4X+`_I

如若不然，则由 n， x n

|v,i&t5X!iO c-|0

取极限得到 x y，与 x y 矛盾.

0ZE Re8BI]X}0

五、命题中 n 的求解方法中国论文网jRq;uH|

该命题的证明可参见参考文献[1] 附录Ⅱ第八节，相关内容比较多，本文前述中我们给出了两种容易理解的证明方法。证法 1 中注意不能利用中国论文网@'S Z-b!Ce8M

ak bk x - y 1 / 10 k

Ps/k
htW0

同时证法 1 给了我们具体求解命题中 n 的一种方法： 中国论文网q9ml4M!F

（1）比较 x 与 y 的无限小数表示，得到

D a0I/OC t0

k ： ak bk , ak 1 bk 1 中国论文网0y^0ri[P

（2）确定 k 后，考察 x 的无限小数表示中a k 后首个非零数am 得到 m ( m k 1) 中国论文网b3q7M b%\-V&{ Kj

（3）取 n m （ m k 1） 即可。1

*I}u;q5~+b.N'm$H0

附：当 n m 1 时，必有X n 中国论文网3K*|G*Gc%bE9b

当 n m 时需进行验证。如例题中 x 2.12299…， y 2.12199…，比较得到 k 3, m 4， n 5 ，事实上有x4 中国论文网Mn4~o,sU/l0| K q

[ 注1] 命题的直观解释：因为xn 当n 增加时是递增的，即对 任何n，x n 1 中国论文网)atrH9Z5[0A)t

xn，而是递减的，即对任何n， . 于是是递增的，且y 中国论文网.D1BUW2O9K

随着n 增大与 x y 越来越接近。若x y 0，则必定存在（需要证明） 中国论文网
OP)bS9Ej1kq

某个正整数 n，使得Xn ，而且从这个 n 起不等式一直成立。

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参考文献：

(~2x5\&V(~%n6Bn/w0 [1] 华东师范大学数学系编. 数学分析（第三版）上册. 高等教育出版社，2001 年6