欧阳型积分不等式与应用

欧阳型积分不等式与应用中国论文网Z0W#|~"G*f8M*h!p
李  永
h C'~e:ZaGh0（沭阳高级中学，江苏  宿迁  223360）
,{7x4T%sq0DO0摘  要：对欧阳不等式作进一步的推广，给出一个更广泛的Ou-Iang型非线性不等式，并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。中国论文网"m-fxp/~.e
关键词：欧阳型；积分不等式；有界性中国论文网r^W)wX
众所周知积分不等式在讨论微分方程解的有界性，稳定性和渐进性时候时起着重要的作用，正因为如此，关于积分不等式的研究很多。文献[1]给出了一个新颖的积分不等式，文献[2]又给出了欧阳不等式一系列的推广。同样文[3-6]进一步研究了欧阳不等式，给出了如下的结论。
p}f/lX?"g0引理 设 是严格递增的， 是递增的；且 若对于常数 ，有
RXc5M-i.E0                                   (1)中国论文网&B;M4dUL} V%Yf
则不等式
+e)gE|%`y$Q0                               (2)
n)qt'U4N|6a| rJ0对一切 成立，这样的t保证中国论文网$^$n,s+{|
h,L
 ，中国论文网s?:~h:O:c o&H
其中                     
~ODkRO0本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式，所得结果推广和改进了已有的部分结果。中国论文网/z9nM hy
定义 设 ，如果 单调不减且当 时,有 ,称 属于函数类 .
@$c1Q)~Cb*j01 主要结果中国论文网&~:};ix*@2Ej%k
th4Gy
定理1 设 为 上的实值非负连续函数， 是实值非负连续函数， 单调不减，并且当 时， ： 单调不减且 次可乘。如果
"X3^}*o!IjY'Q&\[0          （1）
Z i!n/d9YI0则有
Y6G o#O*_i'p`L0 中国论文网Sxf6u
N/wJ+]
其中              中国论文网^\zg7d4B,m{*zY
对一切 成立，这样的 保证
]Or&]
Z:~.{0 中国论文网Qw5Q1RV
其中 的定义同于引理。
` F'lP:s4F c"I0证明 定义(1)式右端为 ,则 是单调不减的函数，且 。中国论文网1R r
lk Z8E
          (2)中国论文网a_1UDy@!g
对任意正数 ,定义 中国论文网.Q0w+m,Zulp
                                        (3)
f/E] }$Q8`#FL0则(2)式变为中国论文网i p]p"y6@f,i pL
               (4)
^-rL ]V kY0因 且单调递增，上式两边同时除以 得中国论文网W6z xp I
 
[/E ftLM0定义中国论文网 EeWE!s!w \
                     (5)
2dx;BX%e%u0则中国论文网1n1k|W$t5]s&]
                                             (6)
k]k&Eom(d/c C^:t3R0且
s1B t2Hk4W)[0 
aF9d{4eb0 
q._N%O-S(i?;V0定义中国论文网2JL4xL t vU
                                     (7)中国论文网I!K3`iA6u%ET9Jh3^
则                       
:q;}w6F6o)dT/I0                                                                        (8)中国论文网*~5v1v6j6GO
且                          中国论文网1f.yIn?j7_
有                          中国论文网f'nvn7M
对上式两边作0到 的积分可得

T`;\
b.H,XM n0 
tc~.E-I,d {*]4x0将上式带入(8)式，且作0到 的积分可得中国论文网 c(I,QVI
 
$zD$t[-a/w*U,^C"?.|n0由上式与(6)式可得
:U7d&k7M w'J0                                           (9)中国论文网+V0]~o&o&u&g9z5au8M
利用 的性质，可得
U-s ~(|%RadrO0                      (10)
!?|}7Cr^D z#b0由 的定义，对 微分得
kQmZ3_6@@ aA0                                            (11)
"t,[/Xf-fB0联合(10)和(11)式，可得     中国论文网Z#J'J9B!Jg1T9K
则有               
HH!wVQE0对上式两边作0到 的积分，可得
]E/u/B"H0W0                          (12)
I"@ Kt(_9?0联合(9)式和(12)式,可得
|!s1X6f!x2[kB&i0 
E/lMUQ8K].D%?f/w0令 即得定理1的结论。中国论文网'R?9heK v
注1 如果 单调递增，则对(9)式就可以结合引理与文 中的推论1得出所需结论，在此不作证明。同时需要指出，如果 ，则定理包含了文[2]中的相关定理以及推论。中国论文网,l F*n vk-ke
2 应用中国论文网A6L8l;`o(E
考虑微分方程中国论文网'F}a1bkB*^
                          (13)
1ZMg cx!Ni0其中  都是连续函数。在此我们假设
"`t^G"bP'jg0                                   (14)中国论文网 q~)q KyZG
其中 中国论文网][7?W0? l{q
现对(13)式两边同时乘以 ，并作0到t的积分可得中国论文网7oMXpw4Z#U7[
]2](JH
 
+Wq#tKL]gM ~0由假设条件可得
fu3G3A [9I|0        (15)中国论文网$|,zSW/G;d.\;p
直接利用定理,化简可得中国论文网:F k E$~%m
      
UN:d.}Z@8C#S-C0其中                

参考文献：中国论文网 |(kuks~(v4@
[1]欧阳亮.线性微分方程 解的有界性[J].数学进展,1957,(3):409-415.
[ZN|kCG0[2]高庆龄,王建国.欧阳不等式的推广及应用[J].山东大学学报(理学版),2008，43(2):72-76中国论文网XV.t!?-\~.FcC.X
[3]温玉珍,曹丽霞,吕亚峰.Oyang型非线性积分不等式的推广[J].曲阜师范大学学报,2005,31(2):34-38中国论文网1\*h~{ lO
[4] 徐衍聪,夏国防.时滞积分不等式及应用[J].曲阜师范大学学报,2005,31(1):15-18中国论文网fVmi;tp%_ y0Xp
[5] Fozi M.DANNAN.Integral Inequalities of Gronwall-Beiiman-Bihair Type and Asymptotic Behavior of Certain Second
Su5BF7V \$[9^vr0Order Nonlinear Differential Equations.JIURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS .1985,108:151-164
zm9y{7B_ x P0[6] Pachpatte B G.On Some new inequalities related to Certain inequalities in the theory
4i${I-rQ^M"v'w0of differential equations[J] .J.Math.Anal .Appl,1995,189(1):128-144
Y!J,Y}-g"~9@1q5r0中国论文网 GZ6A~JD3k