欧阳型积分不等式与应用

!gb,Z)i!u:@[0欧阳型积分不等式与应用中国论文网\)H`6wt-bO$ja
李  永中国论文网LB0~)C0i7@C]?Ed
（沭阳高级中学，江苏  宿迁  223360）
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JJ+F0摘  要：对欧阳不等式作进一步的推广，给出一个更广泛的Ou-Iang型非线性不等式，并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。
!~#^u[5R!k2T`0关键词：欧阳型；积分不等式；有界性中国论文网Gi/b(O uI$L
众所周知积分不等式在讨论微分方程解的有界性，稳定性和渐进性时候时起着重要的作用，正因为如此，关于积分不等式的研究很多。文献[1]给出了一个新颖的积分不等式，文献[2]又给出了欧阳不等式一系列的推广。同样文[3-6]进一步研究了欧阳不等式，给出了如下的结论。中国论文网u5L(\K`h
引理 设 是严格递增的， 是递增的；且 若对于常数 ，有 中国论文网X;j,j1l _qEXY
                                   (1)
-CX{X Qj+P)F&t0则不等式
A|K9p`xu0                               (2)中国论文网SOFDo&wTr8{
对一切 成立，这样的t保证中国论文网QaKUI!h*p
 ，
8x/H"D&FSB9h0其中                      中国论文网 MNz$`3V _9j E_)p
本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式，所得结果推广和改进了已有的部分结果。中国论文网J3m}m?5}eB)NK
定义 设 ，如果 单调不减且当 时,有 ,称 属于函数类 .
7?-RzN+bTo;XW#J01 主要结果中国论文网{8b!x&I(}F6H~
定理1 设 为 上的实值非负连续函数， 是实值非负连续函数， 单调不减，并且当 时， ： 单调不减且 次可乘。如果中国论文网tU,L-c _bjA
          （1）
*m Q5r%V;l;Z0则有中国论文网] wG2Mft%I:]O?_
 
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对一切 成立，这样的 保证中国论文网.q+b]-u.y\Xv2a.W
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其中 的定义同于引理。中国论文网7mS/Ds4z+^Qb
证明 定义(1)式右端为 ,则 是单调不减的函数，且 。中国论文网"Pr$TKQ4yY4`3a
          (2)中国论文网"QIf^"?\;@
对任意正数 ,定义 中国论文网Z"]c]JI&^"qX,j
                                        (3)中国论文网-?7NB!peZ
则(2)式变为
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因 且单调递增，上式两边同时除以 得
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定义中国论文网!K q5un8ac*Q$?2A'W
                     (5)
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                                             (6)
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则                        中国论文网I;@
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                                                                        (8)
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有                          中国论文网;u:V)X.\)A$Q7eh
对上式两边作0到 的积分可得
/c!O7G5D1y)kR0 
!wB&Gf$w`0将上式带入(8)式，且作0到 的积分可得中国论文网s%j }.oZ J-^.n0N
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di-MX\0由上式与(6)式可得中国论文网W
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                                           (9)中国论文网I"lRMvi&v |
利用 的性质，可得
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由 的定义，对 微分得
/?4}5{r0QM4Q*g0                                            (11)中国论文网{za1bwNc
联合(10)和(11)式，可得     中国论文网o.lG#H;iDeY
则有               
F7P{ yYx0对上式两边作0到 的积分，可得
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联合(9)式和(12)式,可得中国论文网$e.W)Wa:W2K
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令 即得定理1的结论。中国论文网%o.oK4M:xp@
注1 如果 单调递增，则对(9)式就可以结合引理与文 中的推论1得出所需结论，在此不作证明。同时需要指出，如果 ，则定理包含了文[2]中的相关定理以及推论。中国论文网#A(P%Ue [)tnr&fs
2 应用中国论文网7p3c%Bgd |BJL
考虑微分方程
0egl k*pa+Rlm0                          (13)
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zk,jy0其中  都是连续函数。在此我们假设中国论文网r0E&DL6x"v/S
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                                   (14)
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现对(13)式两边同时乘以 ，并作0到t的积分可得
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3EC'E2L wM\~P[8u0由假设条件可得
s {0y1KJJ`'A0        (15)中国论文网$w/p(E,}}6FT:H
直接利用定理,化简可得中国论文网,_\9jf7NQ
      
%Z"]+bc{&y;i0其中                 中国论文网f-n7B|)} jV$Of%z

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