欧阳型积分不等式与应用

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`3o]B0欧阳型积分不等式与应用
k YE2HG0李  永
_J+R^&B0（沭阳高级中学，江苏  宿迁  223360）
9K6A o+Tc5y4q0摘  要：对欧阳不等式作进一步的推广，给出一个更广泛的Ou-Iang型非线性不等式，并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。
&byo*rS Y-m0关键词：欧阳型；积分不等式；有界性
I^o]}PNCMG0众所周知积分不等式在讨论微分方程解的有界性，稳定性和渐进性时候时起着重要的作用，正因为如此，关于积分不等式的研究很多。文献[1]给出了一个新颖的积分不等式，文献[2]又给出了欧阳不等式一系列的推广。同样文[3-6]进一步研究了欧阳不等式，给出了如下的结论。中国论文网2V,u`@V)xu
引理 设 是严格递增的， 是递增的；且 若对于常数 ，有
^+O:A g/l5Vf:Ut0                                   (1)中国论文网c4h+b/`!h]N)H
则不等式
,n+l2J/g!~0                               (2)中国论文网+to'Zr#mms6Gy9s
对一切 成立，这样的t保证中国论文网'B[:gs"U"x Zb
 ，
!QG:]T.n.D;HO0o0其中                      中国论文网4egC;o[*F
本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式，所得结果推广和改进了已有的部分结果。中国论文网Z a)|f5gJd
定义 设 ，如果 单调不减且当 时,有 ,称 属于函数类 .中国论文网\eC0N5e
1 主要结果中国论文网t7Ku*N)_:aHP
定理1 设 为 上的实值非负连续函数， 是实值非负连续函数， 单调不减，并且当 时， ： 单调不减且 次可乘。如果中国论文网
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          （1）
0Xk j7\,e_'Cyc0则有
*?C;Y+d1v"ev0 中国论文网
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其中              中国论文网[yM.VW!^AbI[
对一切 成立，这样的 保证中国论文网4a:e P'WM/]$` j
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其中 的定义同于引理。
:[1s(p^0x0证明 定义(1)式右端为 ,则 是单调不减的函数，且 。中国论文网.l\'X\-_ Nsc_-{9H
          (2)中国论文网2Sz.An[8LP
对任意正数 ,定义
mgA$qQ|0                                        (3)中国论文网 k;dLP,j)c*_ Oa
则(2)式变为中国论文网 v@utnEI
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               (4)中国论文网Kj,IZ8`9E1Ze
因 且单调递增，上式两边同时除以 得中国论文网%c*Mh
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定义中国论文网{;tH2B)z/Gfv!^T
                     (5)中国论文网Hr_j,G1V1h
则
aKV4{SR&JB0                                             (6)
)f N9V[ Y x"}0且
'yb ?z*?;~?0 中国论文网h3Ck#kf Z}$i
 
TJkivYa0定义
Fq J3H-jd|5X,R0                                     (7)中国论文网r{+L8LM"p5zM)BS
则                       
]1@f+a@+aZ5A0                                                                        (8)中国论文网oxU:fnVV vp
且                          中国论文网7Y5g&V\$N
有                          中国论文网D |8iyl$aA
对上式两边作0到 的积分可得
?5I/D#D@c~w0 中国论文网8NO6s$vq
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将上式带入(8)式，且作0到 的积分可得
F xt/`}+a8G0 
,uQ0}+q5pMA%_`0KA0由上式与(6)式可得中国论文网!y@I&U\NLJ!K
                                           (9)
rB9\:PO!F ~0利用 的性质，可得
[T Q{l%k%v*V0                      (10)中国论文网&?R4MwN!C%M&p/AT$fJ
由 的定义，对 微分得
su;G:e1S0                                            (11)
9S3sz.k)z9_X#^.?7K0联合(10)和(11)式，可得    
)D:R&K&})`/x;]0则有               
4Agr7s%qjHwf0对上式两边作0到 的积分，可得
[Rs
|I6j9HB/[0                          (12)中国论文网`$h:t.vFC.W(od/{
联合(9)式和(12)式,可得
7nW _8@T0 中国论文网@bNPW&n
令 即得定理1的结论。中国论文网qn)o:g5T f_-~z
注1 如果 单调递增，则对(9)式就可以结合引理与文 中的推论1得出所需结论，在此不作证明。同时需要指出，如果 ，则定理包含了文[2]中的相关定理以及推论。中国论文网 p5`b0B/|+|%\y`
2 应用
\Ws3uU]0考虑微分方程
:s6ch2]lU u0                          (13)
1a%aP'h-poJ)]-G*xr0其中  都是连续函数。在此我们假设
(G:l+IKLp F0                                   (14)中国论文网7O [&nn,{)J/EMV
其中
K.EE.s1ct)`W,H0现对(13)式两边同时乘以 ，并作0到t的积分可得
qI$?yV\7^0 
F6C5EZ*D0由假设条件可得
[gU8sHA0        (15)
0@-~ x2\1eF#Y0直接利用定理,化简可得中国论文网{8e!nSHe\uv:^1^
       中国论文网+RH1li1kX.{/h"q
其中                 中国论文网f%YO6X GX

)H:kb nfO&@:WC+r0参考文献：中国论文网]8l"P8tc&m F3A
[1]欧阳亮.线性微分方程 解的有界性[J].数学进展,1957,(3):409-415.中国论文网Qs.upuq2Y
[2]高庆龄,王建国.欧阳不等式的推广及应用[J].山东大学学报(理学版),2008，43(2):72-76中国论文网%gs8dT1w
[3]温玉珍,曹丽霞,吕亚峰.Oyang型非线性积分不等式的推广[J].曲阜师范大学学报,2005,31(2):34-38
C7s$P"Qx0[4] 徐衍聪,夏国防.时滞积分不等式及应用[J].曲阜师范大学学报,2005,31(1):15-18中国论文网
A"Ao Tx*M:S
[5] Fozi M.DANNAN.Integral Inequalities of Gronwall-Beiiman-Bihair Type and Asymptotic Behavior of Certain Second
Wc"ke.VJf0Order Nonlinear Differential Equations.JIURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS .1985,108:151-164中国论文网1Xl1o-O [1di^
[6] Pachpatte B G.On Some new inequalities related to Certain inequalities in the theory
y~(qmYIMIU0of differential equations[J] .J.Math.Anal .Appl,1995,189(1):128-144
E q PM:R d${g6W0中国论文网 _-AVfR